Электрическая энергия

Вычислим сначала эл. энергию заряженного конденсатора. Способ зарядки на величину энергии не влияет. Будем переносить положительное электричество dq, для этого необходимо совершить работу dA_внеш = fi dq, fi — мгн. значение разности потенциалов между обкладками. Работа самого конденсатора dA = -fi dq. Пусть работа целиком идет на увеличение энергии конденсатора, т.е. dW = fi dq = q dq/C, W = q^2/2C = q fi/2 = Cfi^2/2 (при условии, что параметры конденсатора не меняются). В общем случае W = интеграл от суммы по i: fi_i dq_i. Будем осуществлять зарядку так, чтобы заряды возрастали линейно,

q_i(t)=kq_i, k изменяется от 0 до 1. Поскольку D~E, fi_i(t) = k fi_i и W=сумма fi_i q_i sum(0,

1) k dk, т.е. W=1/2 сумма fi_i q_i. Ограничение на размеры диэлектриков можно снять,

записав формулу в виде W = ½ sum fi p dV+1/2 sum fi sigma dS.

Локализация

Предыдущая формула соответствует теории действия на расстоянии (энергия выражается через заряды и потенциалы тел). Также ее можно выразить через напряженность и индукцию поля в диэлектрике, т.е. энергия распределена в пространстве (теория поля). Сначала выведем формулу для плоского конденсатора. Если l — расстояние между обкладками, то fi=El, q=sigma S = SD_n/4pi, dq = S dD_n/4pi, dA = -V/4pi(E dD), W = V sum 1/pi (E dD), где V = Sl — объем конденсатора. Если D=eE, то W=V/8pi*eE^2 = V/8pi*(ED) = V/8pie D^2. Для конденсатора общей формы: разделим поверхность положительной обкладки на элементарные площадки dSigma, а объем на силовые трубки вдоль силовых линий. Заряд на обкладке q=sum sigma dSigma = 1/4pi * sum D_n dSigma (по поверхности). Внутри трубки зарядов нет, поток D одинаков по всей длине трубки, D_n dSigma = D_l dS. W = ½ fi q = 1/2 sum E dl* 1/4pi sum D_l dS. dl dS = dV, W = 1/8pi sum (ED)dV = sum eE^2/8pi dV, по всему объему конденсатора.

Объемная плотность энергии

w = 1/8pi (ED) = eE^2/8pi = D^2/8pi e, w = 1/4pi sum E dD.

Взаимная энергия точечных зарядов

Пусть точечные заряды q1, q2 находятся в вакууме на бесконечном расстоянии друг от друга. Чтобы сблизить их до расстояния r, надо затратить работу U=q1q2/r. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов U = 1/2 сумма сумма по i!=k: q_i q_k / r_ik, U = 1/2 сумма fi_i q_i, fi_i — потенциал в точке i-го заряда, создаваемый остальными зарядами.

Энергия диполя во внешнем поле (жёсткий и упругий диполи) Жёсткий диполь: энергия взаимодействия самих зарядов диполя (постоянна) плюс энергия взаимодействия с неким внешним зарядом, равная потенциалу умножить на этот заряд. W_самих_зарядов = q^2/l, W_внеш = fi Q = (p, r)/r^3 Q

Упругий диполь: связать квазиупругая, могут совершаться колебания, то есть, ещё плюс энергия колебаний, но вообще это совсем другой случай, на лекциях это не рассматривалось. Есть вопрос 42 - излучение колеблющегося диполя.

Комментарии