Вынужденные колебания в линейных системах - гармоническая внешняя ЭДС. Частотная характеристика, амплитудная и фазовая характеристики линейных фильтров. Колебательный контур. Резонанс. Ширина резонансной кривой и её связь с добротностью

q" + 2yq' + w_0^2 q = X = X_0 exp(iwt)

q = q_0 exp(iwt)

q = X exp(iwt) / (w_0^2 - w^2 + 2iwy)

Это частное решение описывает вынужденные колебания осциллятора.

Есть ещё решение со свободными колебаниями, но они экспоненциально убывают и вскоре затухают.

tau = 1/y - время затухания.

Зависимость амплитуды от частоты - резонансная кривая.

Мощность P = Xq'

P = -waX_0 cos wt sin(wt - delta)

= waX_0sin delta/2 Когда затухание невелико, положения всех максимумов почти не отличаются друг от друга. w = w_0 a_max = X_0/(2 w_0 y) = w_0 a_0/2y Отношение максимального значения амплитуды к статическому отклонению a_0 называется добротностью. Q = a_max/a_0 = w_0/2y = pi/d d - логарифмический декремент. Пусть w_1 и w_2 - частоты, при которых энергия колебаний вдвое меньше энергии в максимуме. Тогда (w_1^2 - w_0^2)^2 = 4w_1^2 y^2 (w_2^2 - w_0^2)^2 = 4w_2^2 y^2 Считая |w_1 - w_0| << w_0, |w_2 - w_0| << w_0 delta w = w_2 - w_1 = 2y = w_0/Q delta w - ширина, или полуширина резоннсной кривой. Линейная колебательная система - все производные входят в неё только в первой степени. При изучении общих свойств линейных систем (фильтров) обычно не интересуются их конкретным устройством. Систему изображают в виде блок-схемы. Внешнее воздействие f(t) называется «входным сигналом» фильтра, а искомая зависимость S(t) — выходным сигналом (или откликом) фильтра. Квадратик представляет собой некоторое устройство, преобразующее входной сигнал f(t) в выходной сигнал S(t). Тот факт, что S(t) является откликом на внешнее воздействие f/(t), будем записывать в виде операторного равенства S(t) = L [f/(t)]. (В результате действия некоторого линейного оператора L на входной сигнал f/(t) получаем сигнал на выходе S(t).) Фундаментальное свойство всех линейных систем (независимо от их конкретного устройства) состоит в следующем: результат нескольких одновременных воздействий можно найти, суммируя результаты, к которым приводит каждое отдельное воздействие. Убедимся в этом на примере гармонического осциллятора. Пусть внешняя сила описывается функцией f_1(t). Возникающий при этом процесс колеба- колебаний — функцией S_1 (t). Мы имеем уравнение S_1" + 2 delta S_1' + w_0^2 S_1 = w_0^2 f_1(t) S_2" + 2 delta S_2' + w_0^2 S_2 = w_0^2 f_2(t) f(t) = C_1 f_1(t) + C_2 f_2(t) S(t) = C_1 S_1(t) + C_2 S_2(t) Спектр выхода

суммы равен сумме спектров всех входов по отдельности - частотная характеристика.

Амплитудная и фазовая характеристики для каждой частоты ищутся по векторным диаграммам.

Комментарии