Процессы установления вынужденных колебаний

Сила X = X0 cos wt; q"+2yq'+w0^2*q = X(t); q"+2yq'+w0^2 q = X0exp(iwt); q = q0exp(iwt) - частное решение. q' = iwq, q" = -w^2*q; q = X0/(w0^2 - w^2+2iwy)*exp(iwt) - вынужденные колебания с частотой внешней силы w. q = X0/(w0^2 - w^2+2iwy)*exp(iwt) + exp(-yt)*(C1 cos w0t + C2 sin w0t). Добавленное общее решение - свободные колебания. За большое время они затухнут, останутся только вынужденные, не зависящие от начальных условий.

Найдем вещ. часть. w0^2-w^2+2iwy =: ro exp(ib), где

ro,b-вещ. q = X0/ro*exp(i(wt-b)), q = a cos (wt-b); w0^2- w^2 = ro cos b, 2wy = ro sin b, => a = X0/sqrt((w0^2- w^2)^2+4w^2y^2), tg b = 2wy/(w0^2-w^2).

Биения

Биения - эффект возникновения колебания с меняющейся амплитудой при сложении двух волн, немного отличающихся по частоте: a cos((w0+W)t) + a cos((w0-W)t) = 2a cos Wt cos w0 t. 2W - разность частот. a(t) = 2a cos Wt.

Комментарии