Экстремумы функций многих переменных

Необходимые условия.

Определение. Пусть на мн-ве Xзадана ф-ция f(x). Точка X наз-ся точкой локального минимума (максимума) ф-ции f на мн-ве Х, если >0: xX f() f(x). Точка минимума и точка максимума наз-ся точками экстремума.

Опр. Пусть - точка локального экстремума ф-ции f на мн-ве Х. Тогда если int X, то - точка безусловного локального экстремума ф-ции f; если , то- точка условного локального экстремума ф-ции f.

Лемма 1. Если - точка безусловного локального минимума(максимума) ф-ции f, то >0: x f() f(x).

Док-во: Пусть, например,- точка безусловного локального минимума. Тогда >0: xX f() f(x). Посколькуint X, то >0: X. Определим =min{,}. Тогда x f() f(x). Для точки максимума док-во аналогично.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума.) Пусть ф-ция f(x) определена в окрестности и диф-ма в т.. Если - точка безусловного локального экстремума ф-ции f, то grad f()=.

Док-во: Так как координаты вектора grad f() равны частным производным , то дост-но док-ть, что =0 i {1,...,n}. Зафиксируем произвольное i {1,...,n} и рассмотрим функцию одной переменной =f(,...,,, , …, ). Поскольку - точка локального экстремума ф-ции f, то - точка локального экстремума ф-ции . В силу т.Ферма =0. След-но, ==0.

Достаточные условия

Квадратичная форма , где , , называется:

а) положительно определенной, если Ф() > 0 для любого 0;
б) отрицательно определенной, если Ф() < 0 для любого 0;
в) неопределенной, если существуют и ' такие, что Ф() > 0, а
Ф(') < 0.
Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно определена в том и только том случае, когда все главные миноры ее матрицы положительны.

Лемма 2. Если квадратичная форма Ф() положительно определена, то найдется такое положительное число , что , где .

Док-во. Рассмотрим квадратичную форму Ф() на сфере S = {: = 1}.

Так как точка 0S, а квадратичная форма положительно определена, то Ф() > 0 в любой точке S.

S есть замкнутое и ограниченное множество в . Непрерывная на компакте S функция Ф() принимает в некоторой точке свое наименьшее на S значение (теорема Вейерштрасса). Поэтому, полагая , получаем, что > 0 и что для любой точки
выполняется неравенство .
Если , то точка принадлежит сфере S. Поэтому .
Пользуясь однородностью квадратичной формы, получаем =

Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка, и пусть df() = 0. Тогда если второй дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма , то — точка строгого минимума функции f(x), если — отрицательно определенная квадратичная форма, то — точка строгого максимума функции f(x), если — неопределенная квадратичная форма, то функция f(x) не имеет экстремума в точке .

Док-во. Учитывая, что df() = 0, получаем f(x)-f() = 0,5+ o() (**) при , где = .

Пусть =есть положительно определенная квадратичная форма. В силу леммы 2 существует такое положительное число , что . Применяя это неравенство к формуле (**), получаем f(x)-f()= (***), где при , откуда следует, что найдется шар такой, что выполнено неравенство . Тогда из формулы (***) следует, что выполнено неравенство f(x)-f(). Следовательно, — точка строгого минимума функции f(x).
Аналогично доказывается, что в том случае, когда есть отрицательно определенная квадратичная форма, — точка строгого максимума функции f(x).
Если есть неопределенная квадратичная форма, то не выполняется необходимое условие минимума . Поэтому не есть точка минимума функции f(x). Аналогично доказывается, что не есть точка минимума функций — f(x), т. е. точка максимума функции f(x).

Комментарии