Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Следующие три условия эквивалентны:

 для замкнутой ломаной

 не зависит от ломаной  ,соединяющей точки A и B

в) поле (P(x,y),Q(x,y))  потенциально, т.е. существует такая непрерывно дифференцируемая

функция U(x,y),что P(x,y) dx+Q(x,y) dy=dU

Доказательство а)=>б):

в силу условия а) интеграл не зависит от пути интегрирования

Доказательство б)=>в):

Фиксируем точку A(x_0  ,y_0 )  а точку B(x,y)сделаем переменной, тогда

зависит только от B и значит в области  

соединим точку B с точкой отрезком BC это можно сделать, т.к. G открытое

применяя теорему о среднем получаем

,т.к.P непрерывна,то в пределе

 аналогично для

Т.к.P(x,y),Q(x,y)  непрерывны в области G,то функция U непрерывно дифференциируема на G 

Доказательство в)=>а):

Пусть тогда

т.к начало и конец совпадают

Для того чтобы дифференцируемое в области G поле было потенциальным, необходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы