6.Геометрический смысл модуля и знака якобиана отображения двумерных пространств. Теорема о замене переменных в кратном интеграле (доказательство для двумерного случая, для базового уровня — без доказательства).

Рассматривается вектор-функция X(u,v)=, заданная на замыкании открытого измеримого множества G. Пусть образ множества G при отображении X является открытым измеримым множеством X(G). Здесь - двумерное арифметическое пространство точек (u, v)=, а - двумерное арифметическое пространство точек (x,y)=. Будем предполагать, что отображение X : обл-ет след.св-вами: 1)X взаимно однозначно отображает G в X(G) 2)отображение X непрерывно дифференцируемо на clG (замыкание G). 3)(u,v)0, для любых (u,v)G. Здесь (u,v)- якобиан отображения X в точке (u,v): (u,v)=det D X(u,v)=det =

Лемма 1. Пусть заданы мн-ва Е, такие, что EG. Тогда:

1)X(E\)=X(E)\X(); 2)X(cl E)=cl X(E); 3)X(int E)=int X(E); 4)X(E)=X(E)

Лемма 2. sup 0 при +0; [(u,v), (, )]G,

Теорема 1.[геом.смысл модуля якобиана отображения] Пусть задано отображение X со св-вами 1)-3). При различных h>0 и (, )G будем рассматривать квадраты ={ (u, v): u+h,v+h} G. Тогда образы квадратов при отображении Х явл-ся измеримыми множествами и при h+0 отношение мер стремится к модулю якобиана равномерно по всем точкам (, ) таким, что квадраты содержатся в G:

Док-во: Из теоремы о производной сложной функции следует, что образ непрерывно диф-мой кривой при непр.диф-мом отображении явл-ся непр.диф-мой кривой. Поэтому образ стороны квадрата явл-ся непр.диф-мой кривой, а образ границы - кусочно непр-но диф-мой, а значит, спрямляемой кривой. Отсюда и из того, что спрямляемая кривая имеет меру нуль следует, что (X())=0, что вместе с пунктом 4 леммы 1 дает рав-во (X())=0. След-но, в силу критерия измеримости, мн-во X() измеримо.

В силу 2ого св-ва линейных отобр-ий (если detA0, то линейное отобр-е с м-цей А параллелограмм переводит в параллелограмм, причем отношение площади образа к площади прообраза равно модулю det A) образ квадрата при отображении (линейное приближение отображения X(u,v) в окр-ти точки (, )G) явл-ся параллелограммом, =(), причем == (1).

Обозначим (h)=(2). Поскольку при (u,v) выполнено нер-во , то в силу леммы 2 0 при h+0. (3)

Пусть - периметр параллелограмма . Из (2) следует что «криволиненый параллелограмм» Х() содержится в(h)-окрестности параллелограмма =(): Х(). Поэтому (X()). Заметим, что площадь окр-ти отличается от площади параллелограмма не более чем на (h)*+2(h): -()(h)*+2(h). След-но, (X()) -()(h)*+2(h).(4)

Через обозначим параллелограмм, содержащийся в параллелограмме и такой, что его стороны параллельны соотв.сторонам в и находятся от них на расст-ии (h). Будем предполагать, что 2(h) меньше высот параллелограмма , что обеспечивает существование . Из усл-я (3) следует, что при достаточно малых h это предположение выполнено. Из ф-лы (2) следует, что содержится в «криволинейном параллелограмме» X(). Поэтому () (X()). Отсюда и из нер-ва()-()(h)*, что вместе с нер-вом (4) дает оценку (h)*+2(h). (5)

поскольку периметр квадрта равен 4h, то в силу 1ого св-ва линейных отображений (при линейном отобр-ииотношение расстояния между образами 2х точек к расст-ю между прообразами не превосходит нормы м-цы отобр-я) 4h. Так как отобр-е Х непрерывно диф-мо на компакте cl G, то по т.Вейерштрасса продолженные частные производные отобр-я Х ограничены на cl G. след-но, м-ца Якоби D X(u, v) ограничена на G, т.е С=sup <+, (, )G. Отсюда и из ф-л (3). (5) следует, что при h+0 sup0, (, ):G. Замечая, что =, получаем при h+0 sup 0, (, ):G. Отсюда и из (1) следует требуемое утверждение.

Теорема 2. [Замена переменных в кратном интеграле] Пусть заданы отображение Х со св-вами 1)-3) и ф-ция f(x,y), непрерывная в замыкании мн-ва X(G). Тогда f(x,y)dxdy=f(x(u,v), y(u,v))dudv.

Лемма 3. Пусть кривые и лежат в обл-ти и составляют правую пару в точке . Пусть в обл-ти задана непрерывно диф-мая векторная ф-ция X(u,v)=с неравным нулю якобианом. Пусть Х(), Х()-образы кривыхи при отобр-ии Х, ориентированные в соответствии с ориентацией и . Тогда в случае >0 кривые Х(), Х() составляют правую пару в точке =, а в случае <0 — левую пару.

Теорема 3. [Геометр.смысл знака якобиана отображения] Пусть простой кусочно-гладкий контур лежит на границе области Gи ориентирован положительно относительно области G. Пусть в области , содержащей контур , определена непрерывно диф-мая векторная ф-ция X(u,v)=, задающая взаимно однозначное отображение X: GX(G) с неравным нулю якобианом. Пусть Х() - образ контура при отобр-ии Х, ориентированный в соответствии с ориентацией контура . Тогда в случае (u,v)>0 (u,v)контур Х() ориентирован положительно относительно области G, а в случае(u,v)<0 (u,v)- отрицательно. Других случаев не бывает.

Док-во: Пусть ={(t): t[a;b]}. Зафиксируем произв.точку =на контуре . Пусть - вектор внутренней нормали к границе области G в точке . Тогда >0: (0;) +G. Из положительной ориентации контура следует, что кривые ,={(t)=+(t-): t[; +]} образуют правую пару в точке .

Пусть якобиан отображения Х положителен. В силу леммы 3 кривые Х()={(t)=X((t)): t[a;b]} и Х()={(t)=X((t)): t[; +]} обр-ют правую пару в точке =X(), т.е пара векторов () и() - правая. Поскольку (0;) (+)X(G), то вектор касательной() направлен в сторону области X(G). Отсюда следует, что вектор касательной() и вектор внутренней нормали к границе области Х(G) в точке =X() образуют правую пару. Поскольку выбором точки на кривойможно получить любую точку =X()на кривой Х(), то контур Х() ориентирован положительно относительно области X(G). Аналогично в случае отрицательного якобиана, контур Х() ориентирован отрицательно относительно области X(G).

Покажем, что других случаев не бывает. Если якобиан (u,v) принимает в обл-ти значения различных знаков, то по теореме о промежуточном значении для ф-ции многих переменных, непрерывной на многосвязном множестве, якобиан (u,v) должен обращаться в ноль в некоторой точке обл-ти , что противоречит усл-ям теоремы.

Комментарии