Независимость выражения интеграла через параметризацию поверхности от допустимой замены параметров.

Теорема. Поверхностный интеграл 1ого рода не зависит от параметризации пов-ти.

Док-во: В силу свойства аддитивности интеграла 1ого рода достаточно док-ть независимость от параметризации интеграла по простой гладкой пов-ти S. Пусть заданы 2 параметризации пов-ти S: S=(clG)=, причем =, где вектор-ф-ция W= задает непрерывно диф-мое взаимно однозначное отобр-е W: clclG с неравным нулю якобианом. Пусть ф-ция f() непрерывна на мн-ве S. Требуется док-ть, что dudv=.

Ранее было доказано, что =. В силу теоремы о замене переменных в кратном интеграле получаем dudv=, откуда получаем требуемое равенство.

Комментарии