Формула Гаусса—Остроградского. Соленоидальные векторные поля. Теорема 1. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в замыкании элементарной области, граница которойявляется кусочно-гладкой поверхностью, ориентированной полем внешних нормалей. Тогда справедлива формула Гаусса-Остроградского (1)

Доказательство. Формулу Гаусса-Остроградского, опуская аргументы, можно представить в виде (2)

Докажем равенство(3)

В силу элементарности области G относительно оси z существует измеримое множество и функциинепрерывные на замыкании множества E и такие, чтодля любыхи

Поэтому поверхность «криволинейного цилиндра» G состоит из трёх частей:

«верхнего основания» «нижнего основания» и «боковой поверхности»

Поскольку вектор нормалик «боковой поверхности»параллелен плоскости xy, топриследовательно, сводя интеграл второго рода к интегралу первого рода, получаем

Пользуясь определением 2 для поверхностных интегралов второго рода по верхней стороне поверхностии нижней стороне поверхностиполучаем

Следовательно,

Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, получаем

Отсюда и из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному следует формула (3).

Аналогично, пользуясь элементарностью области G относительно осей x и y, можно получить равенства (4) (5)

Складывая равенства (3)-(5), получаем формулу Гаусса-Остроградского (2).

Теорема 2. Пусть

1. область G можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся элементарных областейи кусочно-гладких поверхностейлежащих на границах областей

2. границаобласти G является кусочно-гладкой поверхностью, ориентированной полем внешних нормалей;

3. векторное поленепрерывно дифференцируемо в замыкании G.

Тогда справедлива формула Гаусса-Остроградского (1).

Доказательство. В силу теоремы 1 для каждой элементарной областисправедлива формула Гаусса-Остроградского

Поскольку элементарные областиизмеримы, тоОтсюда и из условия следует, чтои в силу аддитивности кратного интеграла

Черезобозначим общую границу соседних элементарных областейи ориентированную полем нормалей, внешних по отношению к областиТогда ориентации поверхностейивзаимно противоположны и, следовательно,

Поэтому при суммировании интегралов по поверхностяминтегралы по общим границам соседних областей взаимно уничтожаются и остается интеграл по границе области G. Таким образом, из формулы (6) следует формула Гаусса-Остроградского для области G.

Отметим без доказательства, что формула Гаусса-Остроградского справедлива и для области G, которую нельзя представить как объединение конечного числа элементарных областей и частей их границ, т.е. вместо условия (1) теоремы 2 достаточно требовать измеримость области G.

Комментарии