Связь соленоидальности с обращением в нуль дивергенции поля.

Теорема 4. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в областиТогда условие(7) является необходимым, а в случае пространственной односвязности области – и достаточным условием соленоидальности поля

Доказательство. 1) Необходимость условия (7) для соленоидальности поля ā следует непосредственно из теоремы 3.

2) Пусть выполнено условие (7) и область поверхностно односвязна. Пусть замкнутая кусочно-гладкая поверхность S ограничивает область G. Тогда в силу односвязности области поэтому Отсюда и из формулы Гаусса-Остроградского следует, что поток поля через поверхность S равен нулю.

Замечание. Из условия (7) для поверхностно неодносвязной области не следует соленоидальность поля Пусть, например– электрическое поле точечного заряда, Тогда т.е. условие (7) выполнено. Однако,

Комментарии