Система Orphus

Общее решение линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.

Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

\dot{x}(t)=Ax(t)~~~~~(1)

где t \in \mathbb{R}, A - квадратная комплексная матрица порядка n, x(t) - неизвестная вектор-функция с n компонентами.

Лемма 1(Принцип суперпозиции). Если x(1)(t),x(2)(t) решения системы (1), а C1,C2 - произвольные комплексные числа, то вектор-функция x(t) = C1x(1)(t) + C2x(2)(t) также решение системы (1).

Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция x(t) = eλth была нетривиальным решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы λ было собcтвенным значением, а h - соответствующим ему собственным вектором преобразования A.

Теорема.

Пусть существует базис \mathbb{R}^n из собственных векторов h1,...,hn линейного преобразования A и пусть λ1,...,λn - соответствующие им собственные значения.

Тогда:

а) Вектор-функция x(t) вида

x(t)=C_1e^{\lambda_1 t}h_1+...+C_ne^{\lambda_n t}h_n~~~~~~(2)

где C1,...,Cm произвольные комплексные постоянные, является решением системы (1).

б)Если x(t) - какое-либо решение системы (1), то найдутся такие значения постоянных C1,...,Cn, при которых x(t) задается формулой (2).

Доказательство.

а)Утверждение теоремы непосредственно следует из лемм 1 и 2.

б)Пусть x(t) - какое-либо решение (1). Так как h1,....,hn - базис в \mathbb{R}^n, то для \forall t\in\mathbb{R}

x(t) = ζ1(t)h1 + ... + ζn(t)hn.

Подставим x(t) в систему (1). Имеем

\dot\zeta_1(t)h_1+...+\dot\zeta_n(t)h_n=\zeta_1(t)Ah_1+...+\zeta_n(t)Ah_n=\zeta_1(t)\lambda_1h_1+...+\zeta_n(t)\lambda_nh_n.

Так как h1,...,hn - линейно независимые вектора, то отсюда

\dot\zeta_1(t)=\lambda_1\zeta_1(t),..., \dot\zeta_n(t)=\lambda_n\zeta_n(t)

Из этих уравнений находим, что \zeta_1(t)=C_1e^{\lambda_1t},...,\zeta_n(t)=C_ne^{\lambda_nt}.


Система Orphus

Комментарии