Система Orphus

методы понижения порядка для дифференциальных уравнений высшего порядка.

I. Уравнение вида

F(x,y',y'') = 0

решается заменой y' = z(x).

II. F(y,y',y'') = 0

решается заменой

y' = z(y) и y''=z\cdot z';

III. F(x,y,y',y'') - однородное уравнение относительно переменных y,y',y''.

заменой y'=y\cdot z, y''=y(z'+z^2)

IV. Пусть существует такая непрерывно дифференцируемая функция Φ(x,y,y'), что для всех x,y,y',y'' справедливо тождество

F(x, y, y', y'')=\frac{d}{dx}\Phi(x, y, y')

очевидно ему эквивалентно уравнение вида

Φ(x,y,y') = C

V. Функция F называется обобщенно-однородной степени m, если существует такое число k

F(tx,tky,tk − 1y1,tk − 2y2) = tmF(x,y,y1,y2)

порядок можно понизить заменой

x=e^u,~~~~y=ve^{ku}

Система Orphus

Комментарии