Сказать "Спасибо"

Поле в фокальной плоскости линзы.

Рассмотрим точечный источник - светящуюся точку $S$ , находящуюся в фокальной плоскости идеальной линзы, на расстоянии $ξ$ от оптической оси.

В области значений

x

, малых по сравнению с расстоянием

R 0

от источника до центра линзы

O

, амплитуду колебаний в сферической волне можно считать постоянной величиной $\frac{a_0}{R}\approx\frac{a_0}{R_0}=a=const$ . Распределение фаз колебаний есть $\varphi(x)=kR=k\sqrt{(x-\xi)^2+f^2}$ . Заменяя, как и ранее, сферический волновой фронт параболическим, найдем $\varphi(x)=kR_0-k\frac{\xi}{R_0}x+\frac{kx^2}{2R_0}$

где $R_0^2=f^2+\xi^2$ .

Играет роль, конечно, относительная фаза колебаний

$\varphi(x)=-k\frac{\xi}{R_0}x+\frac{kx^2}{2R_0}$

Вводя угол $α$ и полагая его малым, так что в последнем слагаемом можно положить $R_0\approx f$ получим

$\varphi(x)=-kx\sin\alpha+\frac{kx^2}{2f}$

При распространении через линзу возникает дополнительный набег фазы $\Delta\varphi=-\frac{k}{2f}x^2$ .

Таким образом, на выходе из линзы, т.е. в плоскости, примыкающей к линзе справа, получаем

$\varphi_+(x)=\varphi(x)+\Delta \varphi(x)=-k\sin\alpha\cdot x$

Это формула выражает очень важный результат, волна от точечного источника, расположенного в фокальной плоскости, преобразуется линзой в волну с плоским волновым фронтом.

Рассмотрим, что из себя представляет картина поля в фокальной плоскости, если идеальная линза освещается произвольной монохроматической волной с комплексной амплитудой $f (x)$ . Эту волну можно представить в виде суперпозиции плоских волн разных направлений $α n$ , т.е. разных пространственных частот $u n = k sinα n$ . Каждая плоская волна, фокусируясь идеальной линзой в свою точку $\xi_n\approx f\sin\alpha_n=fu_n / k$ , создает в этой точке колебания, амплитуда и фаза которых определяются амплитудой и фазой той плоской волны, которая в эту точку фокусируется.

Картина в фокальной плоскости линзы является преобразованием Фурье поля, падающего на линзу.

Заметим, что картина фраунгоферовой дифракции также связана преобразованием Фурье с граничным полем, причем аргументом преобразования является величина $k ξ / z$ . Таким образом, для наблюдения дифракции Фраунгофера нет необходимости удаляться от препятствия на большое расстояние - достаточно установить за препятствием линзу и наблюдать ее картину в ее фокальной плоскости, которая лишь масштабом отличается от картины дифракции Фраунгофера.

Сказать "Спасибо"

Поле в фокальной плоскости линзы.

Комментарии