Система Orphus

Дифференцирование рядов Фурье.

Пусть f - 2π- периодическая, непрерывная и кусочно непрерывно дифференцируемая функция и пусть


f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx) - ее разложение в ряд Фурье

Тогда

f'(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty}-ka_k\sin(kx)+kb_k\cos(kx)

Пусть

f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\cos(kx)+\beta_k\sin(kx)

Тогда из формул для коэффициентов

\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx=\frac{1}{\pi}[f(\pi)-f(-\pi)]=0

\alpha_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\cos(kx)dx

\beta_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin(kx)dx

интегрируя по частям получаем 

\alpha_k=\Bigl. \frac{1}{\pi}f(x)\cos(kx)\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx=kb_k.
\beta_k=\Bigl. \frac{1}{\pi}f(x)\sin(kx)\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx=-ka_k.

Система Orphus

Комментарии