Определим потенциалы поля, создаваемого одним точеченым зарядом, совершающим заданное движение по траектории
Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения в момент времени
определяется состоянием движения заряда в предществующий момент
, для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда
в точку наблюдения
как раз совпадает с разностью
. Пусть
- радиус-вектор от заряда
в точку
; вместе с
он является заданной функцией времени. Тогда момент
определяется уравнением
Это уравнение всегда имеет один корень
В системе отсчета, в которой в момент времени частица покоится, поле в точке наблюдения в момент
дается просто кулоновским потенциалом, т.е.
Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости давал для
и
значения (63.2). Замечая, что согласно (63.1)
из (63.2) можно написать также и в виде
находим, что искомый 4-вектор есть
где - 4-скорость заряда, а 4-вектор
, причем
связаны друг с другом соотношением (63.1); последнее может быть записано в инвариантном виде как
Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциала поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения:
где - радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку
, и все величины в правых частях равенства должны быть взяты в момент времени
, определяющейся из (63.1). Потенциалы поля в этом виде называются потенциалами Лиенара-Вихерта.