Система Orphus

Действие, как интеграл, не должно зависеть от выбора той или иной инерциальной системы отсчета , т.е он должен быть инвариантом относительно относительно преоблазований Лоренца. Отсюда следует, что он должен быть взят от скаляра. Далее ясно, что под интегралом должны стоять, дифференциалы в первой степени.

Итак действие для свободной частицы должно иметь вид:

S=-\alpha\int_a^b ds,

где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя заданными событиями a и b - нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени t_1 и t_2, т.е между заданными мировыми точками; \alpha есть некоторая постоянная, характеризующая данную частицу. Легко видеть, что для всех частиц \alpha должна быть положительной величиной.

Действие можно представить в виде интеграла по времени:

S=\int_{t_1}^{t^2}Ldt.

Коэффициент L при dt называется, как известно функцией Лагранжа для данной механической системы.

С помощью \frac{ds}{c}=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} находим

S=-\int_{t_1}^{t_2}\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt,

где v - скорость материальной частицы. Функция Лагранжа для частицы есть, следовательно,

L=-\alpha c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

Величина \alpha находится из условия, что при предельном переходе c \to \infty наше выражение для L должно перейти в классическое выражение

L=\frac{mv^2}{2}

.

L=-\alpha c\sqrt{1-{v^2}{c^2}}\approx -\alpha c+\frac{\alpha v^2}{2c}


Постоянные члены функции Лагранжа не отражаются в уравнениях движения и могут быть опущены. Получаем, что \alpha=mc. Таким образом, действие для свободной материальной точки равно

S=-mc\int_{a}^{b}ds,

а функция Лагранжа

L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.


Система Orphus

Комментарии