Лемма об открытости. Пусть т., число R>0, функция f:регулярна, пусть  =f() и пусть f ' ()=f ''()=...==0, 0 (1), n2. Тогда сущ-ют круг , 0<rR, и круг такие, что найдется ровно n прообразов в круге . В этом случае говорят, что f является n-листной в круге .

Д-во: т.к. по усл-ю леммы - нуль ф-ции f(z)-f() порядка n, то справедливо представление вида w-=f(z)-f()=h(z) (2), где h:регулярна и h()0. Обозначим w-=(3), и из (2) =h(z) (4), откуда (z-){}.

Многозначная функция {} распадается на регулярные ветви в некоторой окр-ти , R, где h(z)0. Определим (z)=(z-)(z), z(5). Покажем,ч то ф-ция из (5) удовлетворяет условиям теоремы об обратной функции. Она регулярна в окр-ти т.и 0, т.к. =+(z-)={}. След-но, по т. об обратной ф-ции сущ-ет круг , где rи круг (0) такие, что (0) найдется  ровно 1 прообраз ф-ции в круге . Ф-ция =отображает n-листно проколутую окр-ть (0) на проколутую окр-ть (0), т.е. каждая точка из (0) имеет при отображении ф-цией =ровно n прообразов в круге  (0), т.к. каждый сектор круга с углом разворачивается в целый круг (0). В итоге в силу (3) и (5) f(z)=+(z), где  (z)=(z-)(z)   получаем, что у f   имеется ровно n прообразов в круге . ЧТД

Следствие 1. Если f – регулярна в окр-ти точки , то усл-е f '()0  является необходимым и достаточным для однолистности отображения f  в некоторой достаточно малой окрестности точки , то есть для «однолистности в малом».

Замечание. Усл-е  f '()0 не является достаточным для однолистности в области, то есть «однолистности в большом».

Теорема 1. (Принцип сохранения области). Пусть ф-ция f: Gрегулярна в области G и f(z)const. Тогда при отображении f образом области G является область.

Д-во: Пусть G* - образ области G при отображении f, т.е. G*=f(G). 1)Рассм. G*, тогда G такая, что=f(). Т.к. - внутрення точка области G , то f регулярна в окр-ти . Т.к.  f(z)const, то такое, что 0. По лемме об открытости круг (), входящий в G*, т.е. - внутрення точка мн-ва G*, поэтому G* - открыто. 2)Докажем (линейную) связность мн-ва G*. Пусть точки и G*, тогда сущ-ют точки , G такие, что f()=, f()=. Так как мн-во G — область, то сущ-ет кус.-гл. кривая G, соединяющая точку и точку . Тогда в силу определения f()G*, то есть кус.-гл. кривая  f() соединяет точки и . ЧТД