Пусть ф-ия w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) определена в окрестности точки =
+i
, где u(x,y) и v(x,y) — непрерывно дифференцируемые
(гладкие) в окр-ти точки (
,
) функции. И пусть якобиан отображения u=u(x,y) v=v(x,y) (1)не равен нулю в точке (
,
) и её окрестности. Тогда отображение
(1) является взаимно однозначным в окр-ти этой точки.
Рассм. на пл-ти гладкую кривую с началом в точке
. Пусть z
, z
. Обозначим
z=z-
,
=arg
z, l – касательный вектор к кривой
в точке
,
=arg l.
Гладкая кривая на плоскости w с началом в точке
=f(
) - образ кривой
при
отображении w=f(z).
w=w-
,
=arg
w, l' -
касательный вектор к
в точке
,
=arg l'.
k= - линейное
растяжение кривой
в точке
,
-
- угол поворота кривой
в этой
точке при отображении w=f(z).
Пусть w=f(z) — регулярна в точке и f '(
)
0. Тогда
=f '(z) и
=
,
=
(2),
-
=arg f ' (
) (3).
Правая часть (2) не зависит от вида и направления кривой , т.е линейное растяжение в т.
одно и то же для всех кривых
с
началом в
и равно
. Это свойство называетс свойством
постоянства растяжений отображения w=f(z) в точке
Геом.смысл модуля производной — линейное растяжение в точке
.
Из (2) =
+o(
), т.е окр-ть
=
переходит
в окр-ть
=
*
.(Из-за этого
свойство постоянства растяжений называют также круговым свойством)
Правая часть (3) не зависит от вида и направления кривой , т.е
угол поворота в точке
один и тот же для всех кривых с началом в
точке
и равен arg f ' (
) .
Геом.смысл аргумента производной arg f ' () —
угол поворота кривых в точке
.
Углом между кривыми с началом в точке называют угол между касательными к ним
векторам в этой точке.
Свойство сохранения углов: угол между кривыми в точке равен углу между образами этих кривых в
точке
=f(
) по абсолютной
величине и по направлению отсчета.
Якобиан отображения (1) — коэффициент растяжения областей.
Если w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) регулярна в области D, то из условий Коши-Римана J(x,y)=-
=
+
, т.е J(z)=J(x,y)=
(4).
пусть w=f(z) регулярна в D и осуществляет взаимно-одн. отобр-е области D на область G плоскости w. Тогда из (4) S(G)=
=
=
. Если при этом
D,
- её образ, то l(
)=
=
.
Определение 1. Отображение w=f(z) области D комплексной плоскости называется конформным в
точке
, если его компоненты u(x,y)
и v(x,y) диф-мы в точке
=
+i
, а линейное
отобр-е (1) представляет собой композицию растяжения и поворота относительно
точки 0.
Теорема. Отображение w конформно
в точке w диф-ма в точке
и f ' (
)
0.
Определение 2. Отображение w называется конформным в области D, если оно однолистно на D и конформно в каждой точке из D.