Пусть ф-ия w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) определена в окрестности точки =+i, где u(x,y) и v(x,y) — непрерывно дифференцируемые (гладкие) в окр-ти точки (,) функции. И пусть якобиан отображения u=u(x,y)   v=v(x,y) (1)не равен нулю в точке  (,)  и её окрестности. Тогда отображение (1) является взаимно однозначным в окр-ти этой точки.

Рассм. на пл-ти гладкую кривую с началом в точке . Пусть z , z. Обозначим z=z-, =argz, l – касательный вектор к кривой в точке , =arg l.

Гладкая кривая на плоскости w с началом в точке =f() - образ кривой при отображении w=f(z). w=w- ,=argw, l' - касательный вектор к  в точке , =arg l'.

k= - линейное растяжение кривой в точке , - - угол поворота кривой в этой точке при отображении w=f(z).

Пусть w=f(z) — регулярна в точке и f '()0. Тогда =f '(z)  и =, =(2),  -=arg f ' () (3).

Правая часть (2) не зависит от вида и направления кривой  , т.е линейное растяжение в т.одно и то же для всех кривых с началом в и равно . Это свойство называетс свойством постоянства растяжений отображения w=f(z) в точке

Геом.смысл модуля производной — линейное растяжение в точке .

Из (2) =+o(), т.е окр-ть =переходит в окр-ть =*.(Из-за этого свойство постоянства растяжений называют также круговым свойством)

Правая часть (3) не зависит от вида и направления кривой , т.е угол поворота в точке один и тот же для всех кривых с началом в точке и равен arg f ' () .

Геом.смысл аргумента производной arg f ' () — угол поворота кривых в точке .

Углом между кривыми с началом в точке называют угол между касательными к ним векторам в этой точке.

Свойство сохранения углов: угол между кривыми в точке равен углу между образами этих кривых в точке=f() по абсолютной величине и по направлению отсчета.

Якобиан отображения (1) — коэффициент растяжения областей. Если w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) регулярна в области D, то из условий Коши-Римана J(x,y)=-=+, т.е J(z)=J(x,y)=(4).

пусть w=f(z) регулярна в D и осуществляет взаимно-одн. отобр-е области D на область G плоскости w. Тогда из (4) S(G)===. Если при этом D, - её образ, то l()==.

Определение 1. Отображение w=f(z) области D комплексной плоскости называется конформным в точке , если его компоненты u(x,y) и v(x,y) диф-мы в точке =+i, а линейное отобр-е (1) представляет собой композицию растяжения и поворота относительно точки 0.

Теорема. Отображение w конформно в точке w диф-ма в точке и f ' () 0.

Определение 2. Отображение w называется конформным в области D, если оно однолистно на D и конформно в каждой точке из D.