Пусть на границе Г ограниченной области D задана ф-ция (z), непрерывная на каждой замкнутой кривой Г. Классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в следующем: найти ф-цию u(z), гармоническую в области D, непрерывную вплоть до границы  Г и принимающую на Г значения (z): u=0, zD, =(z). (1)

u(z)=u(x,y),  (z)= (x,y) – действ.ф-ции, - оператор Лапласа.

Теорема 1. Решение классической з.Дирихле сущ-ет и единственно.

Док-во: докажем ед-ть. Пусть (z), (z) -  гармонические в области D, непрерывные вплоть до границы  Г  и =. тогда разность  (z)-(z)  - гармоническая в области D, непрерывную вплоть до Г  и равная нулю при  zГ. По принципу максимума и минимума гармонических функций получаем(z)-(z)0 при  zD, т.е..

Теорема 2. Пусть ф-ция u(z), гармоническая в круге <1, непрерывна в замкнутом круге 1. Тогда справедлива формула Пуассона: u(r)=, где z=r, 0r<1.

Док-во: зафикс. точку =,  0<1 и рассм. конф. отобр-е =h(z)=круга <1 на круг<1, h()=0. находим z=g()=. Ф-ция z=g() конформно отображает круг<1 на круг<1 так, что g(0)=. Ф-ция u(z), гармоническая в круге<1, непрерывна в замкнутом круге 1. След-но, ф-ция =u(g()) - гармоническая в круге<1 и непрерывная в 1. По т. о среднем для гарм.ф-ций u()=(0)=. Замена =h()=. Тогда ==u(). Из проделанной замены находим ==, заменяем =на  z=rи получаем требуемую формулу.