Система Orphus

Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость суммы равномерно сходящегося ряда.

Непрерывность. Пусть f_n\underset{E}\rightrightarrows f. Если все функции f_n непрерывны в точке x^{(0)} по множеству E, то и предельная функция f непрерывна в точке x^{0} по множеству E.

Доказательство. Пусть \varepsilon >0. Тогда

\exists n(\varepsilon)~:~|f(x)-f_{n(\varepsilon)}(x)|<\varepsilon~~\forall~x~\in E.

Тогда при x \in E

|f(x)-f(x^{(0)})|\leqslant |f(x)-f_{n(\varepsilon)}(x)|+|f_{n(\varepsilon)}(x)-f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})|+

+|f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})-f(x^{(0)})|<2\varepsilon+|f_{n(\varepsilon)}(x)-f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})|.

В силу непревности функции f_{n(\varepsilon)} в точке x^{(0)} по множеству E

\exists \delta=\delta_\varepsilon>0~:~|f_{n(\varepsilon)}(x)-f_{n(\varepsilon)}(x^{(0)})|<\varepsilon~~\forall x \in  E \cap U_\delta(x^{(0)}).

Отсюда и из предыдущего неравенства следует, что

|f(x)-f(x^{(0)})|<3\varepsilon~~\forall~x~\in~E\cap U_{\delta}(x^{(0)}).

Следовательно, функция f непрерывна в точке x^{(0)} по множеству E.

Для рядов достаточно положить f_n=\sum^{n}_{k=1}u_k,~~f=S.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.293.


Интегрируемость. Пусть функции f_n непрерывны на отрезке [a,~b] при всех n\in\mathbb{N} и f_n\underset{[a,b]}\rightrightarrows fпри n \to \infty.

Тогда

\int_{a}^{x}f_n(t)dt\underset{[a,b]}\rightrightarrows \int_{a}^{x}f(t)dt при n\to\infty.

Доказательство. Функция f(x) по теореме 1 непрерывна на отрезке [a, b] при всех n\in\mathbb{N} и, следовательно интегрируема на [a,b]. Пусть \varepsilon > 0. Тогда в силу равномерной сходимости \{f_n\} к функции f

\exists n(\varepsilon)~:~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon~\forall x\in[a,b],~\forall n\geqslant n(\varepsilon).

Следовательно для всех n\geqslant n(\varepsilon)

\sup_{[a\leqslant x\leqslant b]}\left|\int_{a}^{x} f_n(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt\right|\leqslant \int_{a}^{b}|f_n(t)-f(t)|dt<\varepsilon(b-a)

откуда и следует утверждение теоремы.

Для рядов достаточно положить f_n(x)=\sum^{n}_{k=1}u_k(x),~~f(x)=\sum^{\infty}_{k=1}u_k(x).


Дифференцируемость. Пусть последовательность \{f_n\} непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций сходится в точке c\in[a,b], а, последовательность производных \{f'_n\} равномерно сходится на [a,b] к некоторой функции \phi.

Тогда последовательность \{f_n\} равномерно сходится на [a, b] к некоторой функции непрерывно дифференцируемой на [a, b] функции f и f'=\phi, так что (\lim_{n\to \infty}f_n)'=\lim_{n\to\infty}f'_n на [a, b].

Доказательство. По теореме 1 функция \phi непрерывна на [a,b]. В силу теоремы 2 и формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

f_n(x)-f_n(c)=\int_{c}^{x}f'_n(t)dt\underset{[a,b]}\rightrightarrows\int_{c}^{x}\phi(t)dt.

Числовую сходящуюся последовтельность \{f_n(c)\} можно считать, очевидно, функциональной последовательностью, равномерно сходящейся на [a, b]. Тогда последовательность \{f_n\} равномерно сходится на [a,b] к некоторой функции f.

Переходя в левой части последней формулы к пределу при n\to\infty, получаем, что

f(x)-f(c)=\int_{c}^{x}\phi(t)dt~\forall x\in[a,b].

Правая часть этого равенства является дифференцируемой функцией. Следовательно таковой является и левая часть, а значит и функция f. Дифференцируя равенство получаем, что f'(x)=\phi(x)~~\forall~x\in[a,b]. Теорема доказана.

Для рядов достаточно положить f_n=\sum^{n}_{k=1}u_k.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.293.


Система Orphus

Комментарии