Формула Стокса для простой гладкой поверхности.

Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность $\Sigma$ уравнением

$\vec{r}=\vec{r}(u,v),~~(u,v)\in\Omega\subset R^2$ .(1)

Здесь $\Omega$ - замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе границы $\partial \Omega$ область $\Omega$ остается слева). Пусть $\partial \Omega$ задается уравнениями

$u=u(t),~~v=v(t),~~\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ .(2)

Образ кривой $\partial \Omega$ при отображении (1) мы назвали положительно ориентированным краем поверхности $\Sigma$ и обозначили $\partial \Sigma$ .

Напомним, что ориентация поверхности $\Sigma$ , создаваемая полем нормалей $\vec{N}=[\vec{r}_u,\vec{r}_v]$ , называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.

Пусть в окрестности поверхности $\Sigma$ задано непрерывно дифференцируемое векторное поле $\vec{a}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ . Если $\gamma$ - замкнутый контур, то криволинейный интеграл $\int\limits_{\gamma}(\vec{a},d\vec{r})$ в физике называют циркуляцией векторного поля $\vec{a}$ по контуру $\gamma$ . Если $\gamma=\partial\Sigma$ , то говорят, что поверхность $\Sigma$ натянута на контур $\gamma$ .

Теорема Стокса.

Циркуляция векторного поля $\vec{a}$ по контуру $\gamma=\partial \Sigma$ равна потоку вихря этого поля через поверхность $\Sigma$ , натянутую на контур $\gamma$ , т.е.

$\int\limits_{\gamma}(\vec{a},d\vec{r})=\iint\limits_{\Sigma}(\mathrm{rot}\vec{a},\vec{n})dS$

Доказательство.

Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые были сформулированы в начале. Из (1) и (2) получаем уравнение края поверхности

$\vec{r}=\vec{r}(u(t),v(t)),~~\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ .

Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем

$\int\limits_{\partial \Sigma}(\vec{a},d\vec{r})=\int\limits_{\alpha}^{\beta}(\vec{a}(\vec{r}(u(t),v(t))),\vec{r}_u(u(t),v(t))u'(t)+$ $+\vec{r}_{v}(u(t),v(t))v'(t))dt=\int\limits_{\partial\Omega}(\vec{a},\vec{r}_u)du+(\vec{a},\vec{r}_v)dv$ .

Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а следовательно и равенстве) смешанных производных $\vec{r}_{uv}$ и $\vec{r}_{vu}$ . Тогда в силу формулы Грина получаем равенство

$\int\limits_{\partial\Sigma}(\vec{a},d\vec{r})=\iint\limits_{\Omega}\left[\frac{\partial}{\partial u}(\vec{a},\vec{r}_v)-\frac{\partial}{\partial v}(\vec{a},\vec{r}_u)\right]dudv=$ $=\iint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial\vec{a}}{\partial x}x_u+\frac{\partial\vec{a}}{\partial y}y_u+\frac{\partial\vec{a}}{\partial z}z_u,\vec{r}_v\right)dudv-\iint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial\vec{a}}{\partial x}x_v+\frac{\partial\vec{a}}{\partial y}y_v+\frac{\partial\vec{a}}{\partial z}z_v,\vec{r}_u\right)dudv=$ $=\iint\limits_{\Omega}[(\vec{r}_v,(\vec{r}_u,\mathcal{5})\vec{a})-(\vec{r}_u,(\vec{r}_v,\mathcal{5})\vec{a})]dudv=$ $=\iint\limits_{\Omega}(\vec{r}_u,\vec{r}_v,\mathrm{rot}\vec{a})dudv=\iint\limits_{\Sigma}(\mathrm{rot}\vec{a},\vec{n})dS$ .

Здесь была использована формула

$(\vec{b},(\vec{c}\mathcal{5})\vec{a})-(\vec{c},(\vec{b}\mathcal{5})\vec{a})=(\vec{c},\vec{b},\mathrm{rot}~\vec{a})$

при $\vec{b}=\vec{r}_v,\vec{c}=\vec{r}_u$ , а также формула, выражающая поток через двойной интеграл от смешанного произведения:

$\iint\limits_{\Sigma}(\vec{a},\vec{n})dS=\iint\limits_{\Omega}(\vec{r}_u,\vec{r}_v,\vec{a})dudv$ .

Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно глакий контур.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа.стр.547.

Сказать "Спасибо"

Формула Стокса.

Комментарии