Система Orphus

Преобразования Фурье производной и производная преобразования Фурье.

Преобразование фурье и обратное преобразование фурье

Если непрерывная и абсолютно интегрируемая на \mathbb{R} функция f(x) является кусочно гладкой на любом отрезке [a,b]\subset\mathbb{R}, а функция ~f'(x)~ абсолютно интегрируема на \mathbb{R}, то

F[f']~=~iyF[f]~~~(6).

Доказательство. Для функции f(x) справедлива фломула Ньютона-Лейбница

f(x)=f(0)+\int\limits_{0}^{x}f'(t)dt.

Так как производная ~f'(x)~ абсолютно интегрируемая функция, то существует

\lim_{x\to +\infty}f(x)=f(0)+\int\limits_{0}^{\infty}f'(x)dx=A.

Покажем, что A=0. Если, например,A>0, то существует такое число a\in\mathbb{R}, что при x>a выполнено неравенство f(x)>\frac{1}{2}A, откуда по признаку сравнения следует, что интеграл \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)dx является расходящимся, что противоречит условию теоремы. Итак, \lim_{x\to +\infty}f(x)=0.

Аналогично, доказывается, что \lim_{x\to -\infty}f(x)=0.

Применяя интегрирование по частям, получаем равенство

F[f']=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f'(x)e^{-ixy}dx=\left.f(x)e^{-ixy}\right|_{-\infty}^{+\infty}+iy\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx.

Так как |e^{-ixy}|=1, то внеинтегральный член в правой части этого равенства обращается в нуль и, следовательно, справедливо равенство (6).


Если функция f(x) непрерывна на \mathbb{R}, а функции f(x) и xf(x) абсолютно интегрируемы на \mathbb{R}, то функция \hat{f}(y)=F[f] имеет на \mathbb{R} непрерывную производную, причем

\hat{f'}(y)=\frac{d}{dy}(F[f])=F[(-ix)f(x)].

Доказательство. Дифференцируя интеграл (3) по параметру y, получаем равенство

\frac{d}{dy}(F[f])=\frac{d}{dy}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(-ix)f(x)e^{-ixy}dx.~~~~~(9)

Обоснование законности дифференцирования под знаком интеграла сводится к проверке условий теоремы 6, 72. Интеграл \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(-ix)f(x)e^{-ixy}dx.~~~(9) сходится равномерно по параметру y на \mathbb{R} по признаку Вейерштрасса, так как |(-ix)f(x)e^{-ixy}|~=~|xf(x)|, а интеграл \int\limits_{-\infty}^{+\infty}|xf(x)|dx сходится.


Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математичсекого анализа.стр.646.


Система Orphus

Комментарии