Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице $A$ размеров $m\times n$ стобца $\vec{b}$ высоты $m$ не меняет её ранга тогда и только тогда, когда этот столбец - линейная комбинация столбцов $A$ .

Доказательство. Докажем это. Если $\mathrm{Rg}A^*=\mathrm{Rg}A$ , то базисный минор $A$ является базисным и для $A^*$ . Следовательно, $\vec{b}$ раскладывается по базисным столбцам $A$ . Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов $A$ , добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами.

Обратно, если $\vec{b}$ раскладывается по столбцам $A$ , то элементарными преобразованиями стобцов можно превратить $A^*$ в матрицу $A_0$ , получаемую из $A$ приписыванием нулевого столбца.

Элементарно $\mathrm{Rg}A_0=\mathrm{Rg}A^*$ . C другой стороны, $\mathrm{Rg}A_0=\mathrm{Rg}A$ , так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда $\mathrm{Rg}A=\mathrm{Rg}A^*$ , как и требовалось.

Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр.150

Сказать "Спасибо"

Теорема Кронекера-Капелли.

Комментарии