Определение. Пусть $~L$ и $\bar{L}$ - два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением $A$ пространства $~L$ в пространство $\bar{L}$ понимается закон, по которому каждому вектору из $L$ сопоставлен единственный вектор из $\bar{L}$ . Мы будем писать $A~:~L\to\bar{L}$ . Образ вектора $x$ обозначается $A(x)$

Определение. Отображение $A~:~L\to\bar{L}$ называется линейным, если для любых векторов $x$ и $y$ из $L$ и любого числа $\alpha$ выполнены равенства

$A(x+y)=A(x)+A(y),~~A(\alpha x)=\alpha A(x)$ .

Определение. Матрицей линейного отображения $A~:~L\to\bar{L}$ в паре базисов $e$ и $f$ называется матрица, столбцы которой (в их естественнм порядке) - координатные столбцы векторов $A(e_1),...,A(e_n)$ в базисе $f$ .

Теорема. При линейном отображении $A:L\to \bar{L}$ линейное подпространство $L' \subseteq L$ переходит в линейное подпространство $A(L')\subseteq \bar{L}$ , причем $\mathrm{dim}~A(L')\leqslant\mathrm{dim}~L'$ .

Доказательство. Для нулевого подпространства доказательство очевидно. Рассмотрим подпространство $L'$ размерности $k>0$ . Пусть $e_1,\ldots,e_k$ - базис в $L'$ . Для любого вектора $x\in L'$ имеем $x~=~\xi^1 e_1+\ldots+\xi^k e_k$ и

$A(x)~=~\xi^1 A(e_1)+\ldots+\xi^{k}A(e_k)$ .

Определение. Ядро отображения - множество всех векторов переходящих в нулевой вектор при отображении.

Теорема. Ядро есть линейное подпространство.

Определение. Отображение при котором различные вектора имеют различные образы называется инъективным.

Теорема. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда ядро есть нулевое подпространство.

Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр. 172, 175

Сказать "Спасибо"

Линейное отображение конечномерных линейных пространств, его матрица.

Комментарии