Система Orphus

Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций.

Теорема Ролля

Пусть функция f:

1. непрерывна на [a,b];

2. дифференцируема на (a,b);

3. f(a)=f(b).

Тогда \exists \xi\in(a,b)~:~f'(\xi)=0.

Доказательство. Случай f\equiv \mathrm{const} тривиален. Будем считать далее, что f \not\equiv \mathrm{const}. По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка [a,b] функция f принимает максимальное и минимальное значения. По крайней мере, одна из этих точек лежит на интервале (a,b), так как \min_{[a,b]}f<\max_{[a,b]}f. Тогда по теореме Ферма производная f' в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.

Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то в этом интервале найдется хотя бы одна точка \xi, такая что

f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).~~~~~(1)

Доказательство.

Рассмотрим функцию

\varphi(x)=f(x)+\lambda x

где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось условие \varphi(a)=\varphi(b), т.е. f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b. Отсюда находим

\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}~~~~~(2)

Так как функция \varphi(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка \xi \in (a,b) такая, что \varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0. Отсюда в силу условия (2) получаем равенство

f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},

равносильное равенству (1).

Теорема Коши

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g'(x)\ne 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка \xi\in (a,b) такая, что

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

Доказательство.

Рассмотрим функцию

\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),

где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось равенство \varphi(a)=\varphi(b), которое равносильно следующему:

f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.~~~~(1)

Заметим, что g(b)\ne g(a), так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка c\in (a,b) такая что g'(c)=0 вопреки условиям теоремы.

Итак, g(b)-g(a)\ne 0 и из равенства (1) следует, что

\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.~~~~~(2)

Так как функция \varphi при любом \lambda непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при \lambda определяемой формулой (2), принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка \xi\in(a,b) такая, что \varphi'(\xi)=0, откуда \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=-\lambda. Из этого равенства следует утверждение теоремы.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр. 86.


Система Orphus

Комментарии