Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.

Линейное преобразование - это отображение, которое отображает линейное пространство в то же самое пространство.

Определение. Если для числа $\lambda$ подпространство $\mathrm{Ker}(A-\lambda E)$ ненулевое, то $\lambda$ называется собственным значением преобразования, а подпространство - собственным подпространством, соответствующим собственному значению $\lambda$ .

Определение. Вектор $x$ называется собственным вектором преобразования $A$ , соответствующим собственному значению $\lambda$ , если: $1)x\ne 0$ ; $2) A(x)=\lambda x$ .

Предположение 5. Собственные вектора и только они являются базисными векторами одномерных подпространств, инвариантных относительно $A$ .

Доказательство. Пусть вектор $x$ собственный, а $y$ принадлежит одномерному подпространству $L'$ с базисом $x$ . Тогда $y=\alpha x$ и $A(y)=\alpha A(x)=\alpha\lambda x$ . Значит, $A(y)$ лежит в $L'$ .

Пусть $x$ - базис инвариантного подпространства $L'$ . Тогда $A(x)$ лежит в $L'$ и раскладывается по базису: $A(x)=\lambda x$ . Так как $x\ne 0$ , он собственный.

Предположение 6. В $i$ -м столбце матрицы линейного преобразования все элементы вне главной диагонали равны нулю тогда и только тогда, когда $i$ -й базисный вектор собственный. В этом случае диагональный элемент столбца - собственное значение.

Сказать "Спасибо"

Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.

Комментарии