Система Orphus

Приведение квадратичных форм в линейном пространстве к каноническому виду.

Определение. Квадратичной формой или квадратичной функцией на линейном пространстве L называется функция k, значение которой на любом векторе x определяется равенством k(x)=b(x,x), где b - симметричная билинейная функция .


Определение. Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей билинейной функции.

Мы имеем следующее выражение значения квадратичной формы через координатный столбец вектора:

k(x)~=~\xi^T B \xi

Теорема 1. Для каждой квадратичной формы k существует базис, в котором она имеет диагональный вид.

Доказательство. Пусть B - матрица квадратичной формы k в каком-либо базисе. Применим к матрице B последовательность элементарных преобразований, которую для удобства описания разобьем на ряд шагов. На первом шаге возможны два случая.

1) Основной случай: \beta_{11}\ne 0. Если это так, вычитаем первую строку, умноженную на подходящие множители (\beta_{1i} / \beta_{11} для i-й строки), из всех лежащих ниже строк и вычитаем первый столбец, умноженный на те же множители, из всех столбцов правее него. В результате матрица B перейдет в матрицу B_1 вида

\begin{Vmatrix} \varepsilon_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & & &\\ \vdots& &C_1&\\ 0 & & &\end{Vmatrix},

где C_1 - симметричная матрица порядка n-1,

2) Особый случай: \beta_{11}=0. Здесь имеются две возможности.

a) \beta_{1i}=0 для всех i=2,\ldots, n. При этом матрица уже имеет нужный вид.

б) Найдется i, для которого \beta_{1i}\ne 0. При этом делается вспомогательное преобразование: если \beta_{ii}\ne 0, то i-я строка переставляется с первой, и i-й столбец переставляется с первым; если же \beta_{ii}=0, то i-я строка прибавляется к первой и i-й столбец прибавляется к первому. В преобразованной матрице оказывается \beta'_{11}\ne 0. После вспомогательного преобразования матрица приводится к виду (10) так же, как и в основном случае.

Пусть в результате k шагов мы получили матрицу


B_k=\begin{Vmatrix}
  \begin{array}{c|c}
      \begin{matrix}
          \varepsilon_1 & \cdots & 0\\
          &\ddots&\\
          0 & \cdots & \varepsilon_k
      \end{matrix}&0\\
      \hline
      0 & C_k
   \end{array}
\end{Vmatrix}

Здесь C_k - симметричная матрица порядка n-k.

Следующий, (k+1) - й шаг состоит в такой элементарной последовательности преобразований последних n-k столбцов матрицы B_k, которая равносильна применению первого шага к матрице C_k. В результате мы получаем матрицу B_{k+1}, имеющую тот же вид с большим на 1 значением k. После (n-1) - го шага матрица C_{n-1} имеет порядка 1 и не нуждается в преобразовании. В результате матрица B будет превращена в диагональную матрицу

B'=\begin{Vmatrix}
\varepsilon_1& &\\
&\dots& \\
& & \varepsilon_n
\end{Vmatrix}

Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.стр.199.


Система Orphus

Комментарии