Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.

Пусть дана область $G\subset\bar{\mathbb{C}}$ с кусочно-гладкой положительно ориетированной границей $\Gamma$ . Пусть функция $f$ определена и регулярна на $G$ всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек $a_1,\ldots,a_n\in G$ и пусть к тому же функция $f$ непрерывно продолжима на границу области $G$ . Тогда справедлива формула

$\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=2\pi i\sum^{n}_{k=1}\underset{a_k}{\mathrm{res}}f$ .

Доказательство.

Пусть область $G$ ограничена. Так как число особых точек $a_1,\cdots,a_n\in \mathbb{C}$ конечно, то существует число $r>0$ такое, что $B_r(a_k)\subset G~~\forall k\in\overline{1,n}$ , причем замыкание этих кругов попарно не пересекаются. Определим множество $\tilde{G}=G\setminus\left(\bigcup^{n}_{k=1}\overline{B_r(a_k)}\right)$ .

Множество $\tilde{G}$ тоже является областью с кусочно-гладкой границей $\tilde{\Gamma}=\Gamma\cup(\bigcup^{n}_{k=1}\gamma_k^{-1})$ , где $\gamma_k$ суть окружности $|z~:~|z-a_k|=r|$ , ориентированные по ходу часовой стрелки. Получили, что $f$ регулярна на $\tilde{G}$ и непрерывна на $\bar{\tilde{G}}=\tilde{G}\cup\tilde{\Gamma}$ . Тогда получаем

$0=\int\limits_{\bar{\Gamma}}f(z)dz=\int\limits_{\Gamma}f(z)dz-\sum^{n}_{k=1}\int\limits_{\gamma_k}f(z)dz=\int\limits_{\Gamma}f(z)dz-\sum^{n}_{k=1}2\pi i~\underset{a_k}{\mathrm{res}}f$

что и дает формулу 14.

Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного стр.78

Сказать "Спасибо"

Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.

Комментарии