Классическим решением задачи Дирихле для оператора Лапласа в полуполосе

;

0;                                                                              (1)

;

называют функцию u ∈ C²(Π₊) ∩ C¹(), удовлетворяющую уравнению и краевым условиям (1). Требуется также, чтобы классическое решение удовлетворяло еще и некоторому условию на бесконечности, которое ограничивает поведение решения при x → ∞, гарантируя единственность решения. Чем сильнее такое ограничение, тем лучше для единственности. Однако усиление такого ограничения может привести к потере существования решения. Корректная постановка краевой задачи требует отыскания некоторого идеального баланса требований к решению, гарантирующих единственность решения, но не препятствующих его существованию. Именно по этой причине важно найти самый «широкий» класс, гарантирующий единственность. Такой класс и называют «классом единственности». Для эллиптической краевой задачи в неограниченной области, помимо уравнения и краевых условий, класс единственности существенно зависит еще и от геометрии области в окрестности бесконечности.

В краевой задаче (1) условие на бесконечности будем задавать в терминах o-маленького и O-большого при x → ∞. Классом единственности назовем самый широкий класс вида

   u(x,y) = o(ϕ(x))) при x → ∞ равномерно по . (2)

в котором краевая задача (1) имеет единственное решение. При этом под самым широким классом подразумевается такой выбор функции ϕ в условии вида (2), который гарантирует единственность и при котором замена o-маленького на O-большое приводит к потере единственности. Принятие такого определения класса единственности однозначно решает проблему выбора функции ϕ в условии (2) для краевой задачи (1), т. е. принятое определение класса единственности корректно.

Обозначим через L₂(Ω) вещественное пространство C() со скалярным произведением

 которое порождает норму

.

Для положительных r > 0 обозначим через Π_r прямугольник

 .

Обобщенным (или слабым) решением краевой задачи (1) будем называть функцию u ∈ L₂(Π_r) ∀r > 0 , удовлетворяющую интегральному тождеству

                                          (3)

.

Лемма 1 (без доказательства). Если обобщенное (слабое) решение краевой задачи (1), имеет классическую гладкость, то оно является классическим.

Метод Фурье для слабых решений

Метод Фурье для классических и слабых решений опирается на одну и ту же задачу Штурма-Лиувилля. В данном случае это задача:

   Y’’= λY, 0 < y <π/2;

 (4)

решением которой является полная ортогональная система в L₂(Ω) :

Y_n(y) = sin(2n + 1)y, (5)

λ_n = −(2n + 1)² , n  0.

Разложим теперь искомое слабое решение краевой задачи (1) в ряд Фурье по системе собственных функций  :

                                                                                                                       (6)

с искомыми коэффициентами Фурье

                                                                                                               (7)

Чтобы получить краевые задачи для искомых коэффициентов Фурье, достаточно в интегральном тождестве (3) выбрать пробные функции вида

                                     v(x,y) = ψ(x)sin(2n + 1)y       ∀n  0,       ∀ψ ∈ ^∞(R): ψ(0) = 0.                       (8)

Действительно, подставляя в интегральное тождество (3) пробные функции (8) и учитывая вид коэффициентов Фурье (7), получим семейство интегральных тождеств

где числа {a_n} являются коэффициентами Фурье граничных данных:

.

Заметим, что интегральные тождества (9) являются обобщенными постановками краевых задач для искомых коэффициентов Фурье:

                                                                          X_n’’− (2n + 1)²X_n = 0,        x > 0,

(10)

                                                                         X_n(0) = a_n             n  0.

Точнее, справедлива следующая

Лемма 2 (без доказательства). Пусть функция X_n ∈ L₂(Π_r) ∀r>0 удовлетворяет интегральному тождеству (9). Тогда X_n ∈ C^∞[0,∞), удовлетворяет уравнению и краевому условию (10).

Осталось найти класс единственности в краевой задаче (1). Для этого нужно при каждом n0 найти класс единственности в краевой задаче (10). С этой целью рассмотрим однородную краевую задачу (1), т.е. уравнение (1) с краевым условием X_n(0) = 0. Из общего вида решения такой задачи

                                                  ,                                (11)

следует, что искомое условие на бесконечности имеет вид

                                                         при x → ∞.                                                           (12)

Действительно, из (12) сразу же следует, что C = 0, т.е. однородная краевая задача (10) имеет в классе (12) только тривиальное решение. При этом замена o-маленького на Oбольшое в условии (12) приводит к потере единственности, в чем легко убедиться, полагая C = 1 в представлении (11). Таким образом, условие (12) определяет класс единственности для краевой задачи (10).

В силу определения коэффициентов Фурье (7) классом единственности в краевой задаче (1) будет пересечение всех классов (12). Это означает, что искомый класс единственности в краевой задаче (1) имеет вид

                                                 u(x,y) = o(e^x) при x → ∞ равномерно по ,                                (13)

где при замене o-маленького на O-большое, как и требуется, получаем пример нетривиального решения u = shx siny однородной краевой задачи (1), т.е. задачи (1) с краевым условием u|_x=0 = 0.