Пример Адамара некорректно поставленной задачи.

Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:

$u_{tt} (x,t)=-u_{xx} (x,t),~t>0$ ;
$u\mid_{t=0}=0,~~u_t\mid_{t=0}=\frac{1}{k}\sin{kx}$ .

Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:

$u_k(x,t)=\frac{\operatorname{sh}\,kt}{k^3}\sin{kx}$ .

При $k\rightarrow+\infty$ видно, что $\frac{1}{k}\sin{kx}\rightrightarrows 0$ по $x$ ; следовательно, решение должно также приближаться к нулю. Однако же, в общем случае, когда $x\neq\pi n,n=0,\pm1,\dots,u_k(x,t)\not\to 0,~k\rightarrow\infty$ . То есть, непрерывной зависимости от начальных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно.

Сказать "Спасибо"

Пример Адамара некорректно поставленной задачи.

Комментарии