Формула Кирхгофа (без доказательства).

Рассмотрим в области $G=\{(x,t)~:~x\in\mathbb{R}^3,~t>0\}$ задачу Коши для однородного уравнения в $\mathbb{R}^3$

$u_{tt}(x,t)=a^2\Delta u(x,t),~(x,t)\in G,~a>0$ ,

с начальными условиями

$u(x,0)=u_0(x),~~u_t(x,0)=u_1(x)$ .

Пусть функции $u_0(x)$ и $u_1(x)$ , определяющие начальные условия, принадлежат классам $C^2(\mathbb{R}^3)$ и $C(\mathbb{R}^3)$ соответственно.

$u(x,t)=\frac{1}{4\pi a^2 t}\iint\limits_{|x-y|=at}u_1(y)ds_y+\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{4\pi a^2 t} \iint\limits_{|x-y|=at}u_0(y)ds_y\right]$

дает функцию $u(x,t)$ , являющуюся решением задачи Коши.

Сказать "Спасибо"

Формула Кирхгофа (без доказательства).

Комментарии