7 74

Пусть $D$ - ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ с кусочно гладкой границей $\partial D$ . Рассмотрим в гильбертовом пространстве $L_2(D)$ линейные многообразия

$M_1=M\cap\left\{u(x)~:~u|_{\partial D}=0\right\}$ , $M_2=M\cap\left\{u(x)~:~\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial D}=0\right\}$ , $M_3=M\cap\left\{u(x)~:~\left(ku+\frac{\partial u}{\partial n}\right)|_{\partial D}=0,~k>0\right\}$ ,

где $M=\left\{u(x)~:~u\in C^2(D)\cap C^1(\bar{D}),~\Delta u\in L_2(D)\right\}$ , $n$ - внешняя (по отношению к $D$ ) единичная нормаль к $\partial D$ . Линейные многообразия $M_1$ , $M_2$ и $M_3$ состоят из функций, удовлетворяющих граниным условиям соответственно первого рода (Дирихле), второго рода (Неймана) и третьего рода.

Теорема 7

Дифференциальный оператор $A=-\Delta$ на линейных многообразиях $M_1$ , $M_2$ и $M_3$ симметричен, причем на линейных многообразиях $M_1$ и $M_3$ он положительно определен, а на $M_2$ - неотрицательно.

Доказательство теоремы 7.

Симметричность. Рассмотрим две произвольные функции $u(x)$ и $v(x)$ из $M$ и запишем для $u$ и $v$ вторую формулу Грина

$(Au,v)-(u,Av)=\int\limits_{D}\left(-\Delta u\cdot v+u\Delta v\right)dx=\int\limits_{\partial D}\left(-\frac{\partial u}{\partial n}v+u\frac{\partial v}{\partial n}\right)ds$ .

Из граничных условий следует, что $\left(-\frac{\partial u}{\partial n}v+u\frac{\partial v}{\partial n}\right)|_{\partial D}=0$ . Следовательно, $(Au,v)=(u,Av)$ .

Положительная (неотрицательная) определенность. Пусть $u(x)$ - произвольная функция из $M$ , не нулевая функция. Запишем первую формулу Грина для функции $u(x)$ и $\bar{u(x)}$ :