Для начала докажем вспомогательную лемму
Лемма 1.
Пусть - ограниченная область в
с кусочно гладкой границей,
- гармоническая в
функция из класса
. Тогда выполняется равенство
Физичекий смысл этой леммы очевиден: поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую свободный от зарядов объем, равен нулю.
Доказательство леммы 1. Выпишем вторую формулу Грина для области и функции
и
Теорема 1 (о среднем).
Пусть - гармоническая в шаре
функция из класса
. Тогда справедлива следующая формула
где - плошадь сферы
. В частности, для
Доказательство теоремы 1. Как и раньше ограничемся рассмотрением случая .
Для области и функции
воспользуемся интегральным представлением
Найдем производную по нормали
Следовательно,
.