Вопрос 5.                 ...Область зависимости. Область единственности ...

Определение 1. Для однородного волнового уравнения в случае одной пространственной переменной областью зависимости решения u = u(x,t) в точке P(x,t) называется такой интервал на оси t = 0, что решение в точке P(x,t) зависит от данных задачи, заданных только на этом интервале.

Данные задачи — это данные Коши и заданные внешние силы. Формула Даламбера показывает, что решение задачи Коши для однородного волнового уравнения u_tt = a²u_xx зависит от значений начальных данных только на основании характеристического треугольника с вершиной в точке P(t,x) — см. рисунок, где областью зависимости является интервал (c₁,c₂) оси t = 0, отсекаемый характеристиками x − at = c₁ и x + at = c₂ , проведенными из точки P(x,t) в сторону оси t = 0. Область зависимости часто определяют как интервал (x−at,x+at) оси t = 0, что позволяет исключить использование постоянных c₁ и c₂ .

Рис. Области зависимости, влияния и единственности.

Свойства решений гиперболических уравнений:

1)                  Конечная область зависимости.

2)                  Конечная скорость распространения возмущений, равная значению a > 0 для волнового уравнения u_tt = a²u_xx + f(x,t).

Определение 2. Областью влияния начальных данных, заданных на некотором интервале (c₁,c₂) оси t = 0, называют ту неограниченную область полуплоскости t > 0, в точках которой на решение влияют значения начальных данных, заданных в точках интервала (c₁,c₂).

Формула Даламбера показывает, что область влияния начальных данных, заданных на интервале (c₁,c₂) оси t = 0, ограничена самим интервалом (c₁,c₂) оси t = 0 и расходящимися характеристиками, проведенными вверх через концы интервала (c₁,c₂) — см. рисунок, где область влияния ограничена интервалом (c₁,c₂) и двумя характеристиками: x + at = c₁ и x − at = c₁ .

Определение 3. Для однородного волнового уравнения u_tt = a²u_xx , выполняющегося на всей плоскости t > 0, областью единственности называют наибольшую область полуплоскости t > 0, в точках которой решение однозначно определено начальными данными на некотором интервале (c₁,c₂) оси t = 0.

Формула Даламбера показывает, что решение задачи Коши для однородного волнового уравнения с начальными данными, заданными на интервале (c₁,c₂) оси t = 0, решение будет однозначно определено в характеристическом треугольнике с основанием (c₁,c₂) и вершиной P(x,t) — см. рисунок, где область единственности является треугольником с основанием (c₁,c₂), концы которого соединяются с вершиной P(x,t) отрезками двух характеристик: x−at = c₁ и x+at = c₁ . Нетрудно убедиться, что требования к размерам области, в которой должно выполняться уравнение, можно значительно ослабить. А именно, достаточно предположить, что однородное или неоднородное волновое уравнение выполнятся в какой-либо области, содержащей указанный характеристический треугольник, и в частности, в области, совпадающей с характеристическим треугольником.