Предположим, что гамильтониан для физической системы имеет вид:

$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V},$

где $\hat{V}$ представляет собой малую поправку (возмущение) к "невозмущенному" оператору $\hat{H}$ .

Предполагается, что собственные функции $\psi_n^{(0)}$ и собственные значения оператора $\hat{H}_0$ известны, т.е. известны точные решения уравнения

$\hat{H}_0\psi^{(0)}=E^{(0)}\psi^{(0)}$ .

Требуется найти приближенные решения уравнения

$\hat{H}\psi=(\hat{H_0}+\hat{V})\psi=E\psi$ .

Будем предполагать, что все собственные значения оператора $\hat{H}_0$ не вырождены .

Разложим искомую функцию $\psi$ по функциям $\psi_m^{(0)}$ :

$\psi=\sum_{m}c_m\psi^{(0)}_m$ .

Подставляя это разложение, получим

$\sum_{m}c_m\left(E^{(0)}_m+\hat{V}\right)\psi^{(0)}_m=\sum_{m}c_mE\psi^{(0)}_m$

а умножив это равенство с обеих сторон на $\psi^{(0)*}_k$ и интегрируя, найдем

$(E-E^{(0)}_k)c_k=\sum_{m}V_{km}c_m$ .

Здесь введена матрица $V_{km}$ оператора возмущения $\hat{V}$ , определенная с помощью невозмущенных функций $\psi_{m}^{(0)}$ :

$V_{km}=\int\psi^{(0)*}_k\hat{V}\psi^{(0)}_mdq$ .

Будем искать значения коэффициентов $c_m$ и энергии $E$ в виде рядов

$E=E^{(0)}+E^{(1)}+E^{(2)}+\ldots,~~c_m=c^{(0)}_m+c^{(1)}_m+c^{(2)}_m+\ldots,$

где величины $E^{(1)}$ , $c^{(1)}_m$ - того же порядка малости, что и возмущение $\hat{V}$ , величины $E^{(2)}$ , $c_m^{2}$ - второго порядка малости, и т.д.

Определим поправки к $n$ - му собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: $c^{0}_n=1,~c_m^{(0)}=0,~m\ne n$ . Для отыскания первого приближения подставим в уравнение (38.4) $E=E^{(0)}_n+E^{(1)}_n,~c_k=c^{(0)}_k+c^{(1)}_k$ , сохранив только члены первого порядка. Уравнение с $k=n$ дает

$E^{(1)}_{n}=V_{nn}=\int\psi^{(0)*}_{n}\hat{V}\psi^{(0)}_ndq$

Таким образом поправка первого приближения к собственному значению $E_n^{0}$ равна среднему значению возмущения в состоянии $\psi_{n}^{(0)}$ .

Уравнение (38.4) с $k\ne n$ дает

$c^{1}_{k}=\frac{V_{kn}}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_k},~~k\ne n$ ,

а $c^{(1)}_{n}$ считается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция $\psi_n=\psi_n^{(0)}+\psi^{1}_n$ была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно. Для этого надо положить $c^{(1)}_n=0$ . Действительно, функция

$\psi^{(1)}_n=\sum_{m\ne n}\frac{V_{mn}}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}\psi_{m}^{(0)}$

ортогональна к $\psi^{(0)}_n$ , а поэтому интеграл от $|\psi^{(0)}_n+\psi^{(1)}_n|^{2}$ отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости.

Формула (38.8)определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство

$|V_{mn}|\ll |E^{(0)}_n-E^{(0)}_m|$

Определим еще поправку второго приближения к собственному значению $E^{(0)}_n$ . Для этого подставляем в (38.4) $E=E^{(0)}_n+E^{(1)}_n+E^{(2)}_n,~~c_k=c_k^{(0)}+c_k^{(1)}+c_k^{(2)}$ и рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнения с $k=n$ дает

$E^{(2)}_nc^{(0)}_n=\sum_{m\ne n}V_{nm}c^{(1)}_m$ ,

откуда

$E^{(2)}_{n}=\sum_{m\ne n}\frac{|V_{mn}|^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}$ ,

Ландавшиц стр.168

Сказать "Спасибо"

Стационарная теория возмущений для случая невырожденного уровня энергии.

Комментарии