Линейный эффект Штарка - эффект, при котором уровни атома водорода в однородном электрическом поле испытывают расщепление пропорциональное первой степени напряженности поля. Это связано с наличием у водородных термов случайного вырождения, в силу которого состояния с различными значениями орбитального квантового числа $l$ (при заданном главном квантовом числе $n$ ) обладают одинаковыми энергиями. Матричные элементы дипольного момента для переходов между этими состояниями отнюдь не равны нулю, а потому секулярное уравнение дает уже в первом приближении отличное от нуля смещение уровней.

Для вычисления удобно выбрать невозмущенные волновые функции таким образом, чтобы матрица возмущения была диагональна по отношению к каждой группе взаимно вырожденных состояний. Оказывается, что это осуществляется путем квантования атома водорода в параболических координатах. Волновые функции $\psi_{n_1n_2m}$ стационарных состояний атома водорода в параболических координатах определяются формулами:

$\psi_{n_1n_2m}=\frac{\sqrt{2}}{n^2}f_{n_1m}\left(\frac{\xi}{n}\right)f_{n_2m}\left(\frac{\eta}{n}\right)\frac{e^{im\varphi}}{\sqrt{2\pi}},$ $f_{pm}(\rho)=\frac{1}{|m|!}\sqrt{\frac{(p+|m|)!}{p!}}F(-p, |m|+1, \rho)e^{-\rho/2}\rho^{|m|/2}.$

Оператор возмущения (энергия электрона в поле $\mathcal{E}$ ) есть $\mathcal{E} z=\mathcal{E}(\xi-\eta)/2$ (поле направлено в положительном, а действующая на электрон сила - в отрицательном направлении оси $z$ ). Нас интересуют матричные элементы для переходов $n_1n_2m\to n_1'n_2'm'$ , при которых энергия (т.е. главное квантовое число $n$ ) не меняется. Легко видеть, что из них оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы

$\int |\psi_{n_1n_2m}|^2\mathcal{E} z dV=\frac{\mathcal{E}}{8}\int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty\int\limits_0^{2\pi}(\xi^2-\eta^2)|\psi_{n_1n_2m}|^2d\varphi d\xi d\eta=$ $=\frac{\mathcal{E}}{4}\int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty f^2_{n_1m}(\rho_1)f^2_{n_2m}(\rho_2)(\rho_1^2-\rho_2^2)d\rho_1 d\rho_2$

(мы произвели подстановку $\xi=n\rho_1,~\eta=n\rho_2$ ). В отношении числа $m$ диагональность рассматриваемой матрицы очевидна; что касается чисел $n_1, n_2$ , то диагональность по отношению к ним следует из взаимной ортогональности функции $f_{n_1m}$ с различными $n_1$ и одинаковыми $m$ . Интегрирование по $d\rho_1$ и по $d\rho_2$ разделяются; получающееся интегралы вычисляются. После простого вычисления получим в результате для поправки первого приближения к уровням энергии

$E^{(1)}=\frac{3}{2}\mathcal{E} n(n_1-n_2)~~~~~(77.2)$

или в обычных единицах

$E^{(1)}=\frac{3}{2}n(n_1-n_2)|e|\mathcal{E}\frac{\hbar^2}{me^2}$ .

Две крайние компоненты расщепившегося уровня соответствуют $n_1=n-1, n_2=0$ и $n_1=0, n_2=n-1$ . Расстояние между этими двумя крайними уровнями есть, согласно $(77.2)$ ,

$3\mathcal{E} n(n-1)$ ,

т.е. общее расщепление уровня при эффекте Штарка примерно пропорционально $n^2$ .

Ландавшиц 352

Сказать "Спасибо"

Линейный эффект Штарка в атоме водорода

Комментарии