Основу формализма квантовой механики составляет введение некоторого абстрактного пространства векторов, описывающих чистые состояния. Такие пространства являются обобщением на бесконечномерный случай евклидового пространства и называются гильбертовыми пространствами .
Если квантовая система имеет ортогональных состояний
, то состояние такой системы будет представлено вектором в
- мерном гильбертовом пространстве. Выбранные
состояний формируют ортогональный базис векторного пространства. Тогда состояние физической системы
в любой момент времени
будет определяться вектором
.
Очевидно, что собственному состоянию будет соответствовать вектор, у которого от нуля будет отличен только
- й компонент.
Любая функция может быть представлена в виде набора ортогональных, поэтому все функции образуют гильбертово пространство. Но в нашем случае физический смысл имеют только квадратично интегрируемые комплексные функции
, квадрат модуля которых в области определения образуют сходящийся интеграл
Такие функции образуют векторное подпространство, обозначаемое в математике . Обычно, когда в физике упоминается "гильбертово пространство", имеется в виду именно
. Поскольку введенные таким образом векторы соответствуют функциям, в большинстве случаев образованных бесконечным набором ортогональных базисных функций, то обычно они оперируют в бесконечномерных пространствах.