Записать уравнение Шредингера для двух частиц с массами m1 и m2 взаимодействующих по закону U(r1-r2), а в системе центра масс.

Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с массами $m_1, m_2$ ), взаимодействующих по закону $U(r)$ ( $r$ - расстояние между частицами), имеет вид

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_1}\Delta_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\Delta_2+U(r)$ ,

где $\Delta)1, \Delta_2$ - операторы Лаппласа по координатам частиц. Введем вместо радиус-векторов частиц $\bold{r}_1$ и $\bold{r}_2$ новые переменные $\bold{R}$ и $\bold{r}$ :

$\bold{r}=\bold{r}_2-\bold{r}_1,~~\bold{R}=\frac{m_1\bold{r}_1+m_2\bold{r}_2}{m_1+m_2}$ ;

$\bold{r}$ - вектор взаимного расстояния, а $\bold{R}$ - радиус-вектор центра инерции системы. Простое вычисление приводит к результату;

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\Delta_R-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+U(r)$

Таким образом Гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать $\psi(\bold{r}_1,\bold{r}_2)$ в виде произведения $\varphi(\bold{R})\psi(\bold{r})$ , где функция $\varphi(\bold{R})$ описывает движение центра инерции, а $\psi(\bold{r})$ описывает относительное движение частиц.

Ландавшиц стр 133

Сказать "Спасибо"

Записать уравнение Шредингера для двух частиц с массами m1 и m2 взаимодействующих по закону U(r1-r2), а в системе центра масс.

Комментарии