Теория фазовых переходов II рода Ландау — общая теория, основанная на представлении о связи фазового перехода 2-го рода с изменением внутренней симметрии физической системы.

Основная идея

Внутреннюю симметрию удобно характеризовать параметром дальнего порядка. Для ферромагнетика существует векторный параметр порядка - спонтанная намагниченность. Для сверхпроводника существует комплексный параметр порядка, которую можно интерпретировать как волновую функцию куперовских пар. При переходе в более симметричную фазу этот параметр исчезает.

Рассмотрим тело в магнитном поле $\bold{B}$ . При небольшом увеличении магнитного поля энергия единицы объема тела увеличивается на величину:

$dE=\frac{1}{4\pi}\bold{H}d\bold{B}$

Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии $F(T,B)$ тела в магнитном поле записывается в виде

$dF=-SdT-pdV+\mu dN+\frac{1}{4\pi}\bold{H}d\bold{B}.$

Чтобы не заниматься проблемой размагничивающего фактора, будем считать, что рассматриваемое тело имеет форму длинного цилиндра и внешнее поле $\bold{H}$ направлено вдоль оси цилиндра. Тогда напряженность $\bold{H}$ внутри цилинтдра равна напряженности вне его, и получаем, что более удобно использовать в качестве независимой переменной не индукцию

$\bold{B}=\bold{H}+4\pi \bold{M}$ ,

где $\bold{M}$ - вектор намагниченности цилиндра, а напряженность $\bold{H}$ и эффективную свободную энергию $\mathcal{F}$ , которая определяется формулой

$\mathcal{F}(T,H)=F(T,B)-\frac{1}{8\pi}H^2-\bold{HM},$

для которой термодинамическое тождество принимает вид

$d\mathcal{F}=-SdT-pdV+\mu dN-MdH.$

В термодинамически равновесном состоянии намагниченность однозначно определяется видом функции $\mathcal{F}(T,H)$

$M=-\left(\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial H}\right)_T.$

У ферромагнетиков даже при отсутствии внешнего магнитного поля возможно существование спонтанного магнитного момента $\bold{M}$ . Количественно эту формулировку можно выразить, заменив свободную энергию $\mathcal{F}(T, H)$ на величину $\mathcal{F}'(T, H, M)$ , зависящую от параметра дольнего порядка $M$ .

При заданной температуре равновесное значение спонтанной намагниченности определяется минимальным значением свободной энергии $\mathcal{F}(T,H=0,M)$ . Если этот минимум отвечает значению $M=0$ , то тело находится в парамагнитном состоянии. Если опуститься по температуре ниже температуры Кюри $T_c$ , то минимальному значению свободной энергии отвечает $M\ne 0$ . Количественную формулировку этого явления можно получить, записав свободную энергию в форме разложения по степеням намагниченности - предполагается, что вещество изотропно, поэтому нечетных степеней $M$ в этом разложении нет:

$\mathcal{F}=F_0(T)+a(T)M^2+\frac{1}{2}b(T)M^4~~~~~~(1)$

Цель теории Ландау - описать термодинамические и магнитные свойства ферромагнетика в окрестности точки Кюри. Вблизи этой точки намагниченность должна быть малой величиной, поэтому более высоких степеней намагниченности в разложении $(1)$ можно не учитывать. Чтобы большие значения намагниченности были заведомо термодинамически невыгодно, необходимо $b>0$ .

Минимум функции (1) определяется соотношениями

$\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial M}=a(T)M+b(T)M^3=0,$

$\frac{\partial^2 \mathcal{F}}{\partial M^2}=a(T)+3b(T)M^2>0.$

Если коэффициент $a(T)>0$ , то минимум находится в начале координат $M=0$ , и вещество парамагнитно.

Если $a(T)<0$ , то минимум находится в точке $M=\sqrt{\frac{|a(T)|}{b(T)}}$ и вещество обладает спонтанным моментом.

Простейшей моделью, реализующей эту ситуацию, является модель

$a(T)=\alpha(T-T_c),~~\alpha>0,~~b(T)=b=\mathrm{const}.$

В этой модели намагниченность обращается в нуль по корневому закону

$M=\begin{cases} \sqrt{\frac{\alpha}{b}(T_c-T)},~~T<T_c\\ M=0,~~T>T_c\end{cases}$

Равновесное минимальное значение равновесной свободной энергии $(1)$ равно

$\mathcal{F}=\begin{cases} F_0(T)-\frac{1}{2}\frac{\alpha^2}{b}(T_c-T)^2,~~T<T_c\\ F_0(T),~~T>T_c \end{cases}$

Энтропия тела $S=-\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial T}$ равна

$S=\begin{cases} S_0(T)-\frac{\alpha^2}{b}(T_c-T),~~~~T<T_c;\\ S_0(T),~~~T>T_c. \end{cases}$

Получаем, что в ферромагнитном состоянии энтропия имеет отрицательную добавку. Это добавка приводит к скачку теплоемкости $C(T)=T\frac{\partial S}{\partial T}$ :

$C(T)=\begin{cases} C_0(T)+\frac{\alpha^2}{b}T, T<T_c;\\ C_0(T), T<T_c. \end{cases}$

Ферромагнетик в магнитном поле

Рассмотрим поведение ферромагнетика в магнитном поле, воспользовавшись моделью Ландау. В слабом магнитном поле свободная энергия принимает вид

$\mathcal{F}(T,H,M)=F_0(T)+a(T)M^2+\frac{1}{2}bM^4-HM$

Найдем минимум этой функции

$\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial M}=a(T)M+bM^4-H=0$

В парамагнитной области, пренебрегая кубическим членом имеем

$M=\frac{H}{a(T)}, T>T_c$

и магнитная восприимчивость описывается законом Кюри-Вейсса

$\varkappa=\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{H=0}=\frac{1}{\alpha(T_c-T)},~~T>T_c$

Ниже температуры Кюри равновесная намагниченность близка к спонтанному значению

$M=M_0+\delta M$

В линейном приближение с учетом (70), (71) имеем

$a(T)\delta M+3bM^2_0\delta M-H=0;~~a(T)\delta M-3a(T)\delta M - H=0.$

$\delta M=\frac{H}{2|a(T)|}$

Как и парамагнитной области, восприимчивость стремится к бесконечности, но с другим коэффициентом

$\varkappa=\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{H=0}=\frac{1}{2\alpha(T_c-T)},~~T>T_c$

Статистическая теория, которая свободную энергию ферромагнетика вычисляет в приближении самосогласованного поля, воспроизводит результаты термодинамической теории Ландау и дает оценки термодинамических параметров.

В частности, из статистической теории следует, что температура Кюри по порядку величины равна энергии обменного взаимодействия электронов на соседних атомах.

вики - ссылка

Михеенков 17

Сказать "Спасибо"

Теория фазовых переходов II рода Ландау

Основная идея

Ферромагнетик в магнитном поле

Комментарии