Вторичное квантование - математический метод, который позволяет компактно сформулировать свойства многачастичных квантовых систем.

Гамильтониан одномерного осциллятора:

$H=\frac{p^2}{2M}+\frac{M\omega^2x^2}{2}$

или в диагональной форме

$H=\frac{1}{2}\hbar\omega(\hat{a}^{+}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{+})$

В нормальной форме гамильтониан осциллятора имеет вид

$\hat{H}=\hbar\omega(\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2})$

Энергия $n$ -ого состояния осциллятора равна

$E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})$

Для наглядности, состояние осциллятора $\vert n\rangle$ называют состоянием с $n$ фононами. Тогда оператор $\hat{a}^{+}\hat{a}$ называют оператором числа фононов, каждый из которых имеет энергию $\hbar\omega$ . Оператор $\hat{a}$ - оператор поглощения фонона, а оператор $\hat{a}^{+}$ - оператор рождения фонона.

Квантомеханическая задача определения собственных колебаний кристалла сводится к проблеме диагонализации гамильтониана:

$\hat{H}=\sum_{j}\frac{\hat{p}_j^2}{2M}+\frac{1}{2}\sum_{i\ne j}U(r_i-r_j)$ .

Здесь первая сумма есть сумма кинетических энергий атомов, которые колеблются около узлов кристаллической решетки

$R^{\alpha}_j=a^{\alpha}_1n_1+a^{\alpha}_2n_2+a^{\alpha}_3n_3$

Три вектора $a^{\alpha}_1a^{\alpha}_2a^{\alpha}_3$ - это три периода решетки. Положим, что число номеров узлов $j=(n_1,n_2,n_3)$ в каждом из трех направлений равно $N_1$ , а полное число расположенных в узлах атомов кристалла равно $N_0=N_1^3$ .

Вторая сумма есть сумма потенциальных энергий попарного взаимодействия.

Отклонение атомов от положений равновесия

$u^{\alpha}_j=r^{\alpha}_j-R^{\alpha}_j$

малы по сравнению с межатомными расстояниями, и потенциалы можно представить в форме разложения по этим смещениям:

$U(r_i-r_j)=U(R_i-R_j+u_i-u_j)=$

$=U(R_i-R_j)+U^{\alpha}(R_i-R_j)(u^{\alpha}_i-u^{\alpha}_j)+\frac{1}{2}U^{\alpha\beta}(R_i-R_j)(u^{\alpha}_i-u^{\alpha}_j)(u^{\alpha}_i-u^{\alpha}_j)+\ldots$

Кубические и более высокие члены разложения можно опустить.

Совокупность линейных по смещениям членов равна нулю

$\frac{1}{2}\sum_{i\ne j}[U^{\alpha}(R_i-R_j)(u^\alpha_i-u^\alpha_j)]=0$

т.к. в равновесии равна нулю суммарную сила окружающих атомов

$\sum_{j}U^{\alpha}(R_i-R_j)]=0$

Определяющую роль в гамильтониане кристалла играют квадратичные по смещению члены:

$\hat{H}=\sum_{j}\frac{\hat{p}^2_j}{2M}+\frac{1}{2}\sum_{i\ne j}\frac{1}{2}U^{\alpha\beta}(R_i-R_j)(u^{\alpha}_i-u^{\alpha}_j)(u^{\alpha}_i-u^{\alpha}_j)$ .

Это гамильтониан кристалла в гармоническом приближении. Он задает энергию кристалла как функцию $6N$ переменных смещений атомов $u^{\alpha}_j$ и их импульсов $p^{\alpha}_j$ . Совокупность смещений можно рассматривать 3-х компонентную вектор-функцию, заданную в точках пространства $R_j$ .

С этой точки зрения гамильтониан кристалла есть функционал от дискретного поля смещений.

Для полного определений колебаний необходимо задать граничные условия на поверхности кристалла. Если специально не интересоваться поверхностными колебаниями, то на смещения можно наложить условия периодичности Блоха

$u^{\alpha}_{n_1,n_2,n_3}=u^{\alpha}_{n_1+N_1,n_2,n_3}=u^{\alpha}_{n_1,n_2+N_1,n_3}=u^{\alpha}_{n_1,n_2,n_3+N_1}$ .

Переход к импульсному представлению осуществляется преобразованием Фурье, т.е. разложением смещений и импульсов атомов по плоским волнам:

$u^{\alpha}_j=u^{\alpha}(R_j)=\frac{1}{\sqrt{N_0}}\sum_{k}u^{\alpha}_ke^{ikR_j}$

$p^{\alpha}_j=p^{\alpha}(R_j)=\frac{1}{\sqrt{N_0}}\sum_{k}p^{\alpha}_ke^{ikR_j}$

Подставим разложения Фурье в (8) и поменяем порядок суммирования:

$H=\sum_{k}\frac{p^{\alpha}_kp^{\alpha}_{-k}}{2M}+\frac{1}{2}\sum_{k}u^{\alpha}_ku^{\alpha}_{-k}U^{\alpha\beta}_k$ ,

Здесь использовано соотношение

$\sum_{R}e^{i(k_1+k_2)R}=N_0\delta_{k_1,-k_2}$

и введено обозначение

$U^{\alpha\beta}_k=\sum_{R}\frac{1}{2}U^{\alpha\beta}(R)(e^{ikR}-1)(e^{-ikR}-1)=\sum_{R}U^{\alpha\beta}(R)(1-\cos kR)$ .

Так гамильтониан распадается на сумму по волновым векторам, но потенциальная энергия по прежнему недиагональна по тензорным индексам. Матрица $U^{\alpha\beta}$ есть вторая производная от потенциала парного взаимодействия. Она действительна и симметрична по верхним индексам.

Соответственно действителен и симметричен тензор (14). Это означает, что потенциальную энергию можно диагонализировать путем разложения смещений по собственным векторам поляризации колебаний $e^{\alpha}_{ks}$ :

$u^{\alpha}_k=\sum_{s}u_{ks}e^{\alpha}_ks,~~U^{\alpha\beta}_ke^{\beta}_{ks}=M(\omega_{ks})^2e^{\alpha}_{ks},~~~e^{\alpha}_{ks}e^{\alpha}_{ks}=\delta_{ss'},~~s=1,2,3.$

Такое же преобразование применяем к импульсам:

$p^{\alpha}_{k}=\sum_{s}p_{ks}e^{\alpha}_{ks},$

В результате гамильтониан (20) принимает вид

$H=\sum_{k_s}[\frac{p_{k_s}p_{-k_s}}{2M}+\frac{M}{2}(\omega_{k_s})^2u_{k_s}u_{-k_s}],$

Каждый член суммы напоминает гамильтониан независимого одномерного осциллятора с собственной частотой $\omega_{ks}$ , но для окончательной диагонализации гамильтониана следует избавиться от произведений с противоположными волновыми векторами. С учетом того, что компоненты смещений и импульсов с противоположными волновыми векторами. С учетом того, что компоненты смещений и импульсов с противоположными $k$ не являются независимыми величинами, а эрмитово сопряжены по отношению друг к другу, выполним еще одно преобразование:

$u_{ks}=Q_{ks}(\hat{b}_{ks}+\hat{b}^{*}_{-ks})$

Максимов 37

Сказать "Спасибо"

Вторичное квантование колебаний решетки

Комментарии