Ферромагнетик - вещество, в основном состоянии обладающие спонтанной намагниченностью.

Ферромагнетик в модели Гейзенберга описывается гамильтанианом

$H=-\sum_{\bold{R}} 2\mu_B\hat{\bold{S}}_R\bold{B}-\frac{1}{2}\sum_{\bold{R}_1\ne \bold{R}_2} J(\bold{R}_1-\bold{R}_2)\hat{\bold{S}}_1\hat{\bold{S}}_2,$

где

первый член справа - суммарная энергия магнитных моментов атомов $\bold{\mu}_\bold{R}=2\mu_B\bold{S}_\bold{R}$ расположенных в узлах кристаллической решетки, во внешнем магнитном поле,
второй описывает изотропное обменное взаимодействие спинов. Величина $J(\bold{R}_1-\bold{R}_2)$ называется обменным интегралом. У ферромагнетиков $J_0=\sum_{g}J(g)>0$ . Для вещества, состоящего из $N$ атомов со спином $S=1/2$ - это самый общий вид попарного взаимодействия спинов.

1ый случай ферромагнетика в поле $\bold{B}$ в основном состоянии с минимальной энергией. Энергия обменного взаимодействия минимальна, когда все спины параллельны с друг другом. Энергия магнитного поля минимальна, когда все спины направлены по магнитному полю. Получаем что все спины $\bold{S}_R$ направлены по полю $\bold{B}$ . Выбираем направление $\bold{B}$ в качестве оси $Oz$ . Отсюда очевидно, что энергия основного состояния для $N$ атомов может быть расписана в виде:

$E_0=H_0=\left(-2\mu_BSB-\frac{1}{2}S^2J_0\right)N.$

Если внешнее магнитное поле отсутствует $\bold{B}=0$ , то спины по прежнему параллельны с друг-другом, но их общее направление произвольно. Это свойство называется спонтанным нарушением симметрии.

При низких температурах ( $T\ne 0$ ) спины атомов флуктуируют, и среднее значение спинов не равно максимальной величине, но близко к нему

$\langle \hat{\bold{S}}_{\bold R}\rangle=\bold{S}_T,~~~|\bold{S}_T|=S_T<1/2.$

Очевидно что $\bold{S}_T\parallel Oz$ .

При температуре Кюри $T_c$ спонтанная намагниченность исчезает.

Пусть обменный интеграл $J(\bold{R})$ медленно спадает с увеличением расстояния между спинами. Тогда на выделенный спин $S_{R_0}$ атома действует эффективное поле от большого числа окружающих спинов

$\sum_R J(R-R_0)\bold{S}_R.$

Сумма большого числа флуктуирующих слагаемых слабо флуктуирует. Поэтому под знаком суммы можно считать, что флуктуация каждого спина мала:

$\Delta \bold{S}_R={S}_R-\langle {S}_R\rangle<<1$

Это позволяет в исходном гамильтониане сделать приближение

$\bold{S}_{R_i}\bold{S}_{R_j}\approx\langle \bold{S}_{R_i}\rangle\langle \bold{S}_{R_j}\rangle+\langle \bold{S}_{R_i}\rangle\Delta\bold{S}_{R_j}+\langle \bold{S}_{R_j}\rangle\Delta\bold{S}_{R_i}$

и получить в линейном приближении

$H=H_0+H_1$

$H_0=E_0=-\frac{1}{2}\sum J(R_1-R_2)\langle \bold{S}_1\rangle\langle \bold{S}_2\rangle-\sum 2\mu_{B}\langle \bold{S}_R\rangle\bold{B}$

$H_1=-\sum J(R_1-R_2)\langle \bold{S}_1\rangle\delta\bold{S}_2-\sum 2\mu_B\delta\bold{S}_R\bold{B}=-\sum 2\mu_{B}\bold{B}_{eff}(R)\delta\bold{S}_R$

Здесь введено эффективное магнитное поле

$\bold{B}_{eff}(R)=\bold{B}+\frac{1}{2\mu_B}\langle \bold{S}\rangle J_0,$

которое зависит от средних значений $\langle \bold{S}\rangle$ .

Как правило, при низких температурах эффективное магнитное поле много больше внешнего магнитного.

Величины $\langle \bold{S}\rangle$ следует вычислять самосогласованным образом, построив выражения, неявным образом задающие их значения. Поэтому расчеты, выполненные в линейном приближении по флуктуациям называются приближением самосогласованного поля.

Можно построить теорию возмущений по степеням флуктуаций и убедиться, что поправки к результатам приближения самосогласованного поля малы вдали от $T_c$ , вне области критических флуктуаций.

Мы будем игнорировать область критических флуктуаций и применять приближение самосогласованного поля ко всем $T\ne T_c$ . Гамильтониан (2) формально разбит на сумму независимых членов. Это позволяет легко вычислить

$F=-T\ln Z$ ,

$\sum e^{-\beta(E_0+H_1)}=e^{-\beta E_0}\prod Z_R$

$Z_R=\sum_{\sigma\pm 1}\exp[2\beta\mu_B\bold{B}_{eff}(R)\delta\bold{S}_R]=e$

$\sum_{\sigma\pm 1}\exp(\bold{b}\boldsymbol{\sigma})=\sum_{\sigma\pm 1}\frac{1}{n!}(\bold{b}\boldsymbol{\sigma})^n=2\mathrm{cosh}\,b$

Из соображений симметрии ясно, что в однородном магнитном поле средние значения спинов направлены по магнитному полю и не зависят от координаты узла. Поэтому проще

$\sum_{\sigma\pm 1}\exp(b\sigma_z)=e^b+e^{-b}=2\cos hb$

$F=E_0+\sum 2\mu_B \bold{B}_{eff}(R)\langle \bold{S}_R\rangle-T\sum\ln\left\{2\mathrm{cosh}~[\beta\mu_BB_{eff}]\right\}$

получаем

$E_0=\left(-\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle^2-2\mu_B\langle S\rangle B\right)N$

$\sum 2\mu_B \bold{B}_{eff}(R)\langle \bold{S}_R\rangle=(2\mu_B B+J_0\langle S\rangle)\langle S \rangle N$

$F=\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle^2N-TN\ln\left\{2\mathrm{cosh}~\left[\beta\left(\mu_B B+\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle\right) \right]\right\}$

В пределе низких температур ( $\beta\to\infty$ ) свободная энергия имеет очень простой вид

$F=\left(\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle^2-\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle-\mu_B B\right)N$

Лекции 159

Сказать "Спасибо"

Микроскопическая теория ферромагнетизма в приближении самосогласованного поля

Комментарии