Рассмотрим модель неидеального бозе-газа с взаимодействием между парами частиц вида

$\hat{H}_{\mathrm{int}}=\frac{1}{2}\sum_{i\ne j}W(r_{ij})$

Это модель в представлении вторичного квантования описывается гамильтонианом

$\hat{H}=\sum_{k}E(k)\hat{a}^{+}(k)\hat{a}(k)+$

$\frac{1}{2V}\sum_{k_1+k_2=k'_1+k'_2}\omega(|k'_1-k_1|)\hat{a}^{+}(k'_1)\hat{a}^{+}(k'_2)\hat{a}(k_2)\hat{k_1}~~~~~(69.1)$

где $E(k)=\hbar^2k^2/2m$ .

В случае идеального газа вблизи абсолютного нуля преобладающее число частиц $N_0$ находится в состоянии $k=0$ - эйнштейновская конденсация

$N-N_0<<N_0~~~~(69.2)$ ,

Будем считать, что это неравенство справедливо и для слабо неидеального бозе-газа. Тогда во втором из уравнений

$\hat{a}^{+}(0)\hat{a}(0)\chi_{N_0}=N_0\chi_{N_0}$

$\hat{a}(0)\hat{a}^{+}(0)\chi_{N_0}=(N_0+1)\chi_{N_0}$

мы можем приближенно положить $N_0+1\approx N_0$ . Операторы $\hat{a}^{+}(0)$ и $\hat{a}(0)$ становятся при этом коммутирующими, и мы будем их считать числами, равными

$a^{+}(0)=a(0)=N_0^{1/2}$ .

Условие (69.2) означает, что большинство частиц находится в конденсате. Тогда, очевидно, в гамильтониане (69.1) следует учесть только взаимодействие их с "надконденсатными" частицами. Взаимодействием "надконденсатных" частиц с друг другом будем пренебрегать. Теорию слабонеидеального бозе-газа, основанная на этих предположениях, была предложена Н.Н. Боголюбовым.

Румер 336

Операция "Раздолбай"

Теория Боголюбова

Комментарии (показать)