Определение. Пусть и
- два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением
пространства
в пространство
понимается закон, по которому каждому вектору из
сопоставлен единственный вектор из
. Мы будем писать
. Образ вектора
обозначается
Определение. Отображение называется линейным, если для любых векторов
и
из
и любого числа
выполнены равенства
Определение. Матрицей линейного отображения в паре базисов
и
называется матрица, столбцы которой (в их естественнм порядке) - координатные столбцы векторов
в базисе
.
Теорема. При линейном отображении линейное подпространство
переходит в линейное подпространство
, причем
.
Доказательство. Для нулевого подпространства доказательство очевидно. Рассмотрим подпространство размерности
. Пусть
- базис в
. Для любого вектора
имеем
и
Определение. Ядро отображения - множество всех векторов переходящих в нулевой вектор при отображении.
Теорема. Ядро есть линейное подпространство.
Определение. Отображение при котором различные вектора имеют различные образы называется инъективным.
Теорема. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда ядро есть нулевое подпространство.
Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр. 172, 175