Определим потенциалы поля, создаваемого одним точеченым зарядом, совершающим заданное движение по траектории $\vec{r}=\vec{r}_0(t)$

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения $P(x, y, z)$ в момент времени $t$ определяется состоянием движения заряда в предществующий момент $t'$ , для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда $\vec{r}_0(t')$ в точку наблюдения $P$ как раз совпадает с разностью $t-t'$ . Пусть $\vec{R}(t)=\vec{r}-\vec{r}_0(t)$ - радиус-вектор от заряда $e$ в точку $P$ ; вместе с $\vec{r}_0(t)$ он является заданной функцией времени. Тогда момент $t'$ определяется уравнением

$t'+ \frac{R_0(t')}{c}=t.(63.1)$

Это уравнение всегда имеет один корень

В системе отсчета, в которой в момент времени $t'$ частица покоится, поле в точке наблюдения в момент $t$ дается просто кулоновским потенциалом, т.е.

$\varphi= \frac{e}{R(t')},~~ \vec{A}=0~~~~(63.2)$ .

Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости $\vec{v}=0$ давал для $\varphi$ и $\vec{A}$ значения (63.2). Замечая, что согласно (63.1) $\varphi$ из (63.2) можно написать также и в виде

$\varphi= \frac{e}{c(t-t')}$ ,

находим, что искомый 4-вектор есть

$A^i=e \frac{u^i}{R_k u^k}$

где $u^k$ - 4-скорость заряда, а 4-вектор $R^k=[c(t-t'), \vec{r}- \vec{r}']$ , причем $x', y', z', t'$ связаны друг с другом соотношением (63.1); последнее может быть записано в инвариантном виде как

$R_k R^k=0$ .

Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциала поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения:

$\varphi= \frac{e}{(R- \vec{v} \vec{R} / c)}~,~~~\vec{A}=\frac{e\vec{v}}{c(R-\vec{v}\vec{R}/c)}$

где $\vec{R}$ - радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку $P$ , и все величины в правых частях равенства должны быть взяты в момент времени $t'$ , определяющейся из (63.1). Потенциалы поля в этом виде называются потенциалами Лиенара-Вихерта.

Сказать "Спасибо"

Потенциалы Лиенара-Вихерта.

Комментарии