Теорема 1. Пусть ф-ция f(z) регулярна в ограниченной области D,
за исключением конечного числа полюсов, ф-ции f(z) и f '(z) непрерывны
около границы Г области D вплоть
до Г и . Тогда
=N-P (1), где N-
число нуей, P- число полюсов ф-ции f(z) в области D. При этом каждый нуль
ф-ции f(z) считается столько
раз, какова его кратность, а каждый полюс столько раз, каков его порядок.
Док-во: Покажем, что число нулей ф-ции f(z) в области D конечно. Если f(z)
имеет бесконечное число нулей, то сущ-ет их предельная точка , т.к.
. Тогда по теореме единственности f(z)
0, что противоречит условию
. Таким образом, ф-ция F(z)=
имеет в области D конечное число полюсов — это полюсы и нули f(z). По т. о вычетах левая часть (1) равна
, где
- полюсы функции F(z).
Найдем вычеты. В проколотой окр-ти точки имеем f(z)=
(2), где
>0, если
- нуль f(z) кратности
, или
<0, где -
это порядок полюса
ф-ции f(z),
регулярна в т.
и
0. Из (2) получаем: F(z)=
=
+
, откуда
=
. Т.о., левая часть (1) равна
, в которой сумма положительных
равна N, а сумма
отрицательных равна -P. ЧТД.
Рассм. случай, когда D — односвязна.
Т.к , то сущ-ет замкнутая кривая
D, близкая к
кривой Г, такая что f(z)
0 в
области
между кривыми Г и
, с разрезом по некоторому отрезку,
соединяющему 2 точки, принадлежащие соответственно Г и
. По теореме о монодромии в
сущ-ет регулярная ветвь g(z) аналитической функции Ln f(z). Тогда g '(z)=
. Вместо этого рав-ва обычно пишут
=(Ln f(z))', и
выражение
называют логарифмической производной
ф-ции f(z). Поэтому
=
(Ln f(z))=
Ln f(z) (3), где
Ln f(z) —
приращение ф-ции Ln f(z) по кривой Г. Т.к. Ln f(z)=
+i arg f(z) и ф-ция
однозначна, то
=0,
Ln
=i
arg f(z). Из
(1)-(3)
arg f(z)= N-P (4), если
D — односвязна. В частности, если f(z) регулярна в D, то N=
arg f(z). (5).
Из т.1 следствие. Если f(z) регулярна в ограниченной односвязной области D, непрерывна вплоть до её границы Г и , то справедлива ф-ла (5).
Формулы (4), (5) называют принципом аргумента.
Выясним геометрический смысл (5): пусть Г ' - образ кривой Г при отображении w=f(z). Тогда
arg f(z)=
arg w, поэтому N
– число оборотов кривой Г ' вокруг точки w=0.
Теорема 2 (Руше). Пусть ф-ции f(z) и g(z) регулярны
в ограниченной односвязной области D, непрерывны
вплоть до её границы Г и при zГ
выполняется нер-во:
>
(6). Тогда ф-ции f(z) и F(z)=f(z) +g(z) имеют в области D одинаковое число нулей.
Док-во: Пусть и
- числа нулей для F(z) и f(z) в D. Из (6)
при z
Г
выполняются нер-ва
>0,
>0. По ф-ле (5) и по св-вам приращения
аргумента получаем:
=
arg F(z)=
arg [f(z)(1+
)]=
arg f(z)+
arg (1+
)=
+
arg (1+
). Покажем, что
arg (1+
)=0 (7). Пусть Г ' - образ кривой Г при
отображении w=1+
. Т.к. при z
Г
выполняется нер-во
=
<1, то кривая Г ' принадлежит кругу
<1, поэтому число оборотов кривой
вокруг точки w=0 равно нулю и справедливо рав-во (7). ЧТД.
Теорема 3 (осн.теорема алгебры). Многочлен P(z)=+
+...+
+
(8) имеет в
комплексной плоскости ровно n нулей.
Док-во: Обозначим f(z)=, g(z)=
+...+
+
P(z)=f(z)+g(z). Т.к.
=0, то сущ-ет число
>0 такое, что
<1 при
. По т.Руше многочлен P(z) имеет в любом круге
<R
одинаковое число нулей с функцией f(z)=
, т.е n. ЧТД.
Замечание. Если число такое, что
<1 при
, то все нули ф-ции P(z) находятся в круге
<
.