Пусть функция :
1. непрерывна на ;
2. дифференцируема на ;
3. .
Тогда .
Доказательство. Случай тривиален. Будем считать далее, что
. По теореме Вейерштрасса в некоторых точках отрезка
функция
принимает максимальное и минимальное значения. По крайней мере, одна из этих точек лежит на интервале
, так как
. Тогда по теореме Ферма производная
в этой точке равна нулю, что и требовалось доказать.
Если функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, то в этом интервале найдется хотя бы одна точка
, такая что
Доказательство.
Рассмотрим функцию
где число выберем таким, чтобы выполнялось условие
, т.е.
. Отсюда находим
Так как функция непрерывна на отрезке
, дифференцируема на интервале
и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка
такая, что
. Отсюда в силу условия (2) получаем равенство
равносильное равенству (1).
Если функции и
непрерывны на отрезке
, дифференцируемы на интервале
, причем
во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка
такая, что
Доказательство.
Рассмотрим функцию
где число выберем таким, чтобы выполнялось равенство
, которое равносильно следующему:
Заметим, что , так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка
такая что
вопреки условиям теоремы.
Итак, и из равенства (1) следует, что
Так как функция при любом
непрерывна на отрезке
и дифференцируема на интервале
, а при
определяемой формулой (2), принимает равные значения в точках
и
, то по теореме Ролля существует точка
такая, что
, откуда
. Из этого равенства следует утверждение теоремы.
О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр. 86.