Аффинные преобразования плоскости и их основные свойства.

Отображение плоскости P в плоскость R — закон или правило, по котрому каждой точке плоскости P сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Обозначается . Если нужно указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости R, то напишем , в этом случае В — образ точки А, точка А — прообраз точки В. Совсем не обязательно каждая точка плоскости R является образом какой-либо точки. Если для некоторого отображения плоскости P и R совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости.

Отображение называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости R имеет прообраз, и притом только один.

При выбранных системах координат на плоскостях P и R отображение сопоставляет паре чисел (x,y) пару чисел (x',y'). Задать отображение при выбранных СК — всё равно что задать 2 функции, каждая из которых зависит от 2-х независимых переменных: , .

Преобразование f плоскости Р называется линейным, если на Р существует такая декартова система координат, в которой f может быть записано формулами , (1). Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным.

Предложение 1. Для того, чтобы преобразование, задаваемое ф-лами (1), было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы (2). Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами (1) при условии (2).

Доказательство: Утверждение вытекает из параграфа 9 главы 2 (предложение 9, стр.53 в учебнике Беклемишева). Нужно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Ф-лы (1) связывают координаты (x',y') точки М' и координаты (x,y) её прообраза. Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения x и y, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах и ( а значит при любых x' и y') тогда и только тогда, когда выполнено усл-е (2).

Геометрические свойства аффинных преобразований.

Рассмотрим на плоскости прямую с уравнением и найдем её образ при преобразовании f. (Образ прямой — множество образов её точек). Радиус-вектор образа М' произвольной точки М можно вычислить так: =, где - постоянный вектор , а - радиус-вектор точки М. По свойствам линейных преобразований получаем (3). Так как f – аффинное преобразование, и то перейдет в вектор и ур-е (3) является ур-ем прямой линии. Итак, образы всех точек прямой лежат на прямой. F определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую.

Предложение 2. При аффинном преобразовании прямая линия переходит в прямую линию, отрезок переходит в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные.

Док-во: первое утверждение доказано выше. Для док-ва второго утверждения достаточно заметить, что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида . Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные.

Предложение 3. При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Док-во: пусть отрезки АВ и CD параллельны. Это значит, что существует такое число , что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда следует, что .

Следствие. Если точка С делит отрезок Ав в некотором отношении , то её образ C' делит образ A'B' отрезка АВ в том же отношении .

Рассмотрим ориентированный параллелограмм, выберем общую декартову СК О, и обозначим через и компоненты векторов и , на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить как : =. Пусть аффинное преобразование f записывается ф-лами (1). Векторы и имеют в базисе те же компоненты, что и векторы и в базисе . Образ параллелограмма построен на векторах и и площадь его равна: =. По свойствам линейных преобразований (образа вектора при линейном преобразовании) координаты векторов и равны соответственно и . Поэтому .