16.
Дополнительный минор и алгебраическое дополнение. Разложение
детерминанта по элементам строки или столбца.
Минором матрицы называется детерминант какой-либо её квадратной подматрицы.
Пусть
-
элемент матрицы А порядка n, расположенный
в i-ой строке и j-ом
столбце. Назовем дополнительной подматрицей этого элемента
матрицу
порядка
n-1, получаемую из А вычеркиванием i-ой
строки и
j-ого столбца.
Дополнительным минором
элемента
назовем
число
.
Говорить о дополнительном миноре имеет смысл только в том случае,
если детерминант порядка n-1
существует.
Алгебраическим
дополнением
элементаматрицы
A
называется число, равное
,
где
-
дополнительный минор.
Будем называть
перестановкой
чисел 1,...,n
эти числа, записанные
в каком-либо определенном порядке. Например, из чисел 1 и 2
образуются две перестановки: 1,2 и 2,1. Перестановку чисел 1,...,n
обозначим
.
Число
будет
нарушать порядок
в этой перестановке если оно стоит левее меньшего числа:
но
.
Число всех нарушений
порядка в перестановке обозначим N.
Перестановка будет
четной, если N-
четное, и нечетной —
в противном случае.
Теперь докажем ф-лу
полного разложения:
det=
(1).Сумма
в правой части равенства берется по перестановкам. Это означает, что
каждой перестановке чисел 1,...,n
соответствует
слагаемое. Слагаемое для перестановки
составляют
так: берут из 1-ой строки
-ый
элемент, из 2ой строки
-ой
элемент и т.д., перемножают их. В результате в произведение входит по
одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого
столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми
четностями соответсвующих перестановок.
Ф-лу (1) докажем
методом математической индукции. Пусть при n=2
дана матрица
.
Двум перестановкам 1,2 и 2,1 отвечают, соответственно, слагаемые
и
.
Их сумма равна
,
то есть как раз определителю этой матрицы.
Допустим, что ф-ла
верна для матриц порядка n-1,
и докажем её для
произвольной матрицы А порядка n.
Напишем разложение А
по 1-ой строке: det
A=(2).
В k-ое
слагаемое этого разложения входит множитель
,
равный определителю подматрицы
.
Порядок этой матрицы n-1,
и по предположению
индукции
=
.
Здесь все номера
отличны
от k, а
первые индексы у сомножителей равны 2,...,n,
так как, сохраняя
старые обозначения для элементов матрицы А, мы должны учесть, что в
не
входят 1-ая строка и k-ый
столбец. Теперь в k-ом
слагаемом ф-лы (2) можно внести множитель
под
знак суммы и записать это слагаемое так:
=
.
Числа k,
образуют
перестановку чисел 1,...,n
причем
=
,
так как правее k
стоит ровно k-1
чисел, меньших k.
Следовательно,
имеет
ту же четность, что и
и мы имеем
=
.
В правой части этого выражения собраны все те члены из суммы (1),
которые соответствуют перестановкам, имеющим k
на первом месте. В
сумму (2) входят слагаемые для любого k,
и потому сумма (2)
содержит все члены суммы (1) и, конечно, не содержит никаких других
членов. Этим доказана формула полного разложения.