16. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение. Разложение детерминанта по элементам строки или столбца.

Минором матрицы называется детерминант какой-либо её квадратной подматрицы.

Пусть - элемент матрицы А порядка n, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце. Назовем дополнительной подматрицей этого элемента матрицу порядка n-1, получаемую из А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Дополнительным минором элемента назовем число . Говорить о дополнительном миноре имеет смысл только в том случае, если детерминант порядка n-1 существует.

Алгебраическим дополнением элементаматрицы A называется число, равное , где - дополнительный минор.

Будем называть перестановкой чисел 1,...,n эти числа, записанные в каком-либо определенном порядке. Например, из чисел 1 и 2 образуются две перестановки: 1,2 и 2,1. Перестановку чисел 1,...,n обозначим . Число будет нарушать порядок в этой перестановке если оно стоит левее меньшего числа: но . Число всех нарушений порядка в перестановке обозначим N. Перестановка будет четной, если N- четное, и нечетной — в противном случае.

Теперь докажем ф-лу полного разложения: det=(1).Сумма в правой части равенства берется по перестановкам. Это означает, что каждой перестановке чисел 1,...,n соответствует слагаемое. Слагаемое для перестановки составляют так: берут из 1-ой строки -ый элемент, из 2ой строки -ой элемент и т.д., перемножают их. В результате в произведение входит по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Произведения складываются со знаками, определяемыми четностями соответсвующих перестановок.

Ф-лу (1) докажем методом математической индукции. Пусть при n=2 дана матрица . Двум перестановкам 1,2 и 2,1 отвечают, соответственно, слагаемые и . Их сумма равна , то есть как раз определителю этой матрицы.

Допустим, что ф-ла верна для матриц порядка n-1, и докажем её для произвольной матрицы А порядка n. Напишем разложение А по 1-ой строке: det A=(2). В k-ое слагаемое этого разложения входит множитель , равный определителю подматрицы . Порядок этой матрицы n-1, и по предположению индукции =. Здесь все номера отличны от k, а первые индексы у сомножителей равны 2,...,n, так как, сохраняя старые обозначения для элементов матрицы А, мы должны учесть, что в не входят 1-ая строка и k-ый столбец. Теперь в k-ом слагаемом ф-лы (2) можно внести множитель под знак суммы и записать это слагаемое так: =. Числа k, образуют перестановку чисел 1,...,n причем =, так как правее k стоит ровно k-1 чисел, меньших k. Следовательно, имеет ту же четность, что и и мы имеем =. В правой части этого выражения собраны все те члены из суммы (1), которые соответствуют перестановкам, имеющим k на первом месте. В сумму (2) входят слагаемые для любого k, и потому сумма (2) содержит все члены суммы (1) и, конечно, не содержит никаких других членов. Этим доказана формула полного разложения.

Комментарии