2. Гипербола. Гиперболой мы назвали линию, которая в некото­рой декартовой прямоугольной системе координат определяется ка­ноническим уравнением

(9)

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы, т. е. все точки гиперболы лежат вне вер­тикальной полосы ширины 2а (рис. 32). Ось абсцисс канонической системы ко­ординат пересекает гиперболу в точках с координатами (а, 0) и (-а,0), назы­ваемых вершинами гиперболы. Ось ор­динат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они на­зываются ее ветвями.

Числа а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями ги­перболы.

В точности так же, как и для эллипса, доказывается

Предложение 6. Для гиперболы оси канонической системы ко­ординат являются осями симметрии, а начало канонической систе­мы — центром симметрии.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с про­извольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = kx, поскольку мы уже знаем, что пря­мая х = 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения нахо­дятся из уравнения

Поэтому, если , то

Это позволяет указать координаты точек пересеченияи, где обозначено . В силу симметрии

достаточно проследить за движением пер­вой из точек при изменении к (рис. 33).

Числитель дроби аb/v постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при к = 0. Следовательно, наимень­шую абсциссу имеет вершина (а,0). С ростом к знаменатель убывает, и х рас­тет, стремясь к бесконечности, когда к приближается к числу b/а. Прямая у = bх/а с угловым коэффициентом b/а не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффици­ентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим поло­жительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положе­ния по часовой стрелке, то к будет убывать,расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет по­ложения с угловым коэффициентом -b/а.

К прямой у = -bх/а относится все, что было сказано о у = bх/а: она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипер­бола имеет вид, изображенный на рис. 33.

Определение. Прямые с уравнениями у = bх/а и у = -bх/а в канонической системе координат называются асимптотами гипер­болы.

Запишем уравнения асимптот в виде bх - ау = 0 и bх + ау = 0. Расстояния от точки М(х,у) до асимптот равны соответственно

,

Если точка М находится на гиперболе, то , и

Предложение 7. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно

Отсюда следует важное свойство асимптот.

Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

Действительно, хотя бы одно из расстояний h1 или h2 при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.

Введем число с, положив с^2=a^2+b^2 и . Фокусами гиперболы называются точки и с коорди­натами (с, 0) и (—с, 0) в канонической системе координат.

Отношение, как и для эллипса, называется эксцентриси­

тетом. У гиперболы

Предложение 9. Расстояния от произвольной точки М(х,у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х:

• (11)

Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством предложения 2, и мы не будем его воспроизво­дить. Заметим, что равенства (11) можно подробнее записать так:

для правой ветви гиперболы

для левой ветви гиперболы

Итак, для правой ветви , а для левой ветви . В обоих случаях (12)

Предложение 10. Для того чтобы точка М лежала на гипер­боле, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси ги­перболы 2а.

Необходимость условия уже доказана. Для доказательства доста­точности условия его нужно представить в виде

Дальнейшее отличается от доказательства предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2).

Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в ка­нонической системе координат уравнениями

X = a/e; x = -a/e (13)

Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следователь­но, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

Предложение 11. Для того чтобы точка лежала на гиперболе,

необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фоку­са к расстоянию до соответствую­щей директрисы равнялось эксцен­триситету(рис. 36).

Доказательство повторяет до­казательство предложения 4. До­кажем, например, необходимость условия для фокуса

Пусть— точка гиперболы.

Расстояние от М' до директрисы с уравнениемпо форму­ле (9) равно

Из формулы (11) мы видим теперь, что

Уравнение касательной к гиперболе в точкележащей

на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид

(14)

Предложение 12. Касательная к гиперболе в точке есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство почти не отличается от доказательства предложе­ния 5. Рекомендуем читателю полностью провести доказательства этого и остальных утверждений, здесь сформулированных, но не до­казанных для гиперболы.

Комментарии