Исследование уравнения второго порядка

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением

, (1)

в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения (1) не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол старые координаты точки x, y будут связаны с ее новыми координатами x', у' формулами

х=х' cos — у'sin, у=х'sin + у'cos .

В новых координатах уравнение (1) примет вид

А(х'cos- у'sin)+ 2В(х'cos - у'sin ) ( х'sin + y' cos ) + C(x'sin + y'cos )+ ... = 0.

Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно х',у' и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением х'у' в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при х'у' есть

В' = —A sin cos + В (cos — sin ) + С sin cos .

Если В = 0, то поворачивать систему координат не будем. Если же В≠0, то выберем угол так, чтобы В' обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению

2В cos 2 =(A- С) sin 2. (2)

Если А = С, то cos 2 = 0, и можно положить = π/4. Если же А ≠ С, то выбираем = arctg(). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение

А'х + С'у + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0. (3)

Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициенты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Сформулируем следующее вспомогательное

Предложение 1. Если в уравнение (3) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, А'≠0. Перепишем (3) в виде

А' (х + х' + ) + С'у² + 2Е'у' + F' – = 0.

Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами х'' = х' + D'/А', у'' = у', то уравнение приведется к виду

А'х + С'у + 2Е'у'' + F'' = 0,

как и требовалось.

Б. Допустим теперь, что А'С' = 0, и, следовательно, один из коэффициентов А' или С' равен нулю. В случае необходимости, делая замену, мы можем считать, что А'=0. При этом С'≠0, так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя предложение 1, мы приведем уравнение к виду

С'у + 2D'x'' + F'' = 0.

Б1. Пусть D'≠0. Сгруппируем члены следующим образом:

.

Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода

x* = х'' + F''/2D', y* = у''. Тогда уравнение примет вид

С''у+ 2D'x*=0,

или

y =2рх*, (11)

где р = —D'/C'. Мы можем считать, что р > 0, так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: х** = —x*, у** = у*.

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (11) при условии р > 0, называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Б2. Допустим, что D' = 0. Уравнение имеет вид С'y + F'' = 0. Относительно F'' есть следующие три возможности.

Б2а. С'F'' < 0 — знаки С' и F'' противоположны. Разделив на С',

приведем уравнение к виду

у - а2 = 0. (12)

Левая часть уравнения разлагается на множители у''+а и у''—а. Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.

Б2б. С'F''>0 — знаки С' и F'' совпадают. Разделив на С' приведем уравнение к виду

y + а = 0. (13)

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (13), называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.

Б2в. F'' = 0. После деления на С уравнение принимает вид

У = 0. (14)

Это уравнение эквивалентно уравнению у''=0, и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (14), называется уравнением пары совпавших прямых.

Комментарии