1.
Числовые последовательности.
Если каждому натуральному числу n
поставлено в соответствие некоторое вещественное число,
то говорят, что задана
числовая последовательность
(или просто последовательность)
Кратко
последовательность обозначают символомили
i,
при
этом
называют
членом
или
элементом
этой последовательности, n
— номером члена
Числовая
последовательность — это функция, область определения
которой есть множество
N
всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т. е.
совокупность чисел,
называют
множеством значений последовательности.
Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементов всегда является бесконечным: любые два разных элемента последовательности отличаются своими номерами.
Например,
множество значений последовательности
состоит
из двух чисел 1 и -1,
а множества значений последовательностей
и
бесконечны.
Последовательность
может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить
каждый член последовательности по его номеру. Например, если
,
то
каждый нечетный член последовательности равен 0, а каждый четный член
равен 1.
Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим. При таком способе задания последовательности обычно указывают:
а) первый
член последовательности
(или
несколько членов, например
,
);
б) формулу, связывающую n-й член с соседними (например, с
и
членами).
Так,
арифметическая прогрессия с разностью
d
и
геометрическая прогрессия со знаменателемзадаются
соответственно рекуррентными формулами
,
,
Зная
первые члены этих прогрессийи
,
можно получить формулы для
членов
прогрессий:
Рекуррентной формулой
и
условиямизадается
последовательность Фибоначчи
В
некоторых случаях последовательность может быть задана описанием
ее членов. Например, если
- простое число с номером n,
то
и
т. д.
Отметим,
наконец, что последовательностьможно
изобразить:
а) точками
с координатамина
плоскости;
б) точкамина
числовой оси.
2. Определение предела последовательности.
Определение.
Число а называется
пределом последовательности,
если для каждого
существует
такой номер
,
что для всех
выполняется
неравенство
Если
а — предел последовательности, то пишут
или
при
С
помощью логических символов это определение можно записать в виде
(1)
Последовательность,
у которой существует предел, называют
сходящейся.
Таким
образом, последовательность
является
сходящейся,
если
:
(2)
Последовательность,
не являющуюся сходящейся, называют
расходящейся.;
иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если
никакое число не является ее пределом.
Заметим,
что еслидля
всех
(такую
последовательность называют
стационарной),
то
Из
определения (1) следует, что последовательностьимеет
предел, равный
а,
тогда и только тогда, когда последовательность
имеет
предел, равный нулю, т. е.
3.
Единственность предела последовательности.
Теорема
1.
Числовая последовательность может иметь только один
предел.
Предположим,
что последовательностьимеет
два различных предела
а
и
b,
причем
(рис.
4.2). Выберем
таким,
чтобы
е-окрестности
точек
а
и
b
не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например,Так
как число а — предел последовательности
,
то по заданному
можно
найти номер
N,
такой,
что
для
всех
Поэтому
вне интервала
может
оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности,
интервал
может
содержать лишь конечное число членов последовательности. Это
противоречит тому, что b — предел последовательности (любая
окрестность точки b должна содержать бесконечное число членов
последовательности). Полученное противоречие показывает, что
последовательность не может иметь два различных предела. Итак,
сходящаяся последовательность имеет только один предел.