1. Числовые последовательности. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число, то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность)
Кратко последовательность обозначают символомилиi, при этомназывают членом или элементом этой последовательности, n — номером члена
Числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел, называют
множеством значений последовательности.
Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементов всегда является бесконечным: любые два разных элемента последовательности отличаются своими номерами.
Например, множество значений последовательности состоит из двух чисел 1 и -1, а множества значений последовательностейибесконечны.
Последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить каждый член последовательности по его номеру. Например, если , то каждый нечетный член последовательности равен 0, а каждый четный член равен 1.
Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим. При таком способе задания последовательности обычно указывают:
а) первый член последовательности (или несколько членов, например ,);
б) формулу, связывающую n-й член с соседними (например, с
и членами).
Так, арифметическая прогрессия с разностью d и геометрическая прогрессия со знаменателемзадаются соответственно рекуррентными формулами
, ,
Зная первые члены этих прогрессийи, можно получить формулы длячленов прогрессий:
Рекуррентной формулой
и условиямизадается последовательность Фибоначчи
В некоторых случаях последовательность может быть задана описанием ее членов. Например, если - простое число с номером n, то и т. д.
Отметим, наконец, что последовательностьможно изобразить:
а) точками с координатамина плоскости;
б) точкамина числовой оси.
2. Определение предела последовательности.
Определение.
Число а называется
пределом последовательности,
если для каждогосуществует
такой номер,
что для всехвыполняется
неравенство
Если
а — предел последовательности, то пишут
или
при
С
помощью логических символов это определение можно записать в виде
(1)
Последовательность,
у которой существует предел, называют
сходящейся.
Таким
образом, последовательность
является
сходящейся,
если:
(2)
Последовательность,
не являющуюся сходящейся, называют
расходящейся.;
иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если
никакое число не является ее пределом.
Заметим,
что еслидля
всех(такую
последовательность называют
стационарной),
то
Из
определения (1) следует, что последовательностьимеет
предел, равный
а,
тогда и только тогда, когда последовательность
имеет
предел, равный нулю, т. е.
3.
Единственность предела последовательности.
Теорема
1.
Числовая последовательность может иметь только один
предел.
Предположим,
что последовательностьимеет
два различных предела
а
и
b,
причем(рис.
4.2). Выберемтаким,
чтобы
е-окрестности точек а и b не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например,Так как число а — предел последовательности, то по заданному можно найти номер N, такой, что для всех Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервалможет содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что b — предел последовательности (любая окрестность точки b должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.