1. Числовые последовательности. Если каждому натурально­му числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное чис­ло, то говорят, что задана числовая последовательность (или прос­то последовательность)

Кратко последовательность обозначают символомилиi, при этомназывают членом или элементом этой последовательности, n — номером члена

Числовая последовательность — это функция, область определе­ния которой есть множество N всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел, называют

множеством значений последовательности.

Множество значений последовательности может быть как конеч­ным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементов всегда является бесконечным: любые два разных элемента последо­вательности отличаются своими номерами.

Например, множество значений последовательности со­стоит из двух чисел 1 и -1, а множества значений последователь­ностейибесконечны.

Последовательность может быть задана с помощью формулы, поз­воляющей вычислить каждый член последовательности по его номе­ру. Например, если , то каждый нечетный член последовательности равен 0, а каждый четный член равен 1.

Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, поз­воляющей находить члены последовательности по известным пре­дыдущим. При таком способе задания последовательности обычно указывают:

а) первый член последовательности (или несколько членов, на­пример ,);

б) формулу, связывающую n-й член с соседними (например, с

и членами).

Так, арифметическая прогрессия с разностью d и геометрическая прогрессия со знаменателемзадаются соответственно рекуррентными формулами

, ,

Зная первые члены этих прогрессийи, можно получить форму­лы длячленов прогрессий:

Рекуррентной формулой

и условиямизадается последовательность Фибоначчи

В некоторых случаях последовательность может быть задана опи­санием ее членов. Например, если - простое число с номером n, то и т. д.

Отметим, наконец, что последовательностьможно изобра­зить:

а) точками с координатамина плоскости;

б) точкамина числовой оси.

2. Определение предела последовательности.

Определение. Число а называется пределом последовательнос­ти, если для каждогосуществует такой номер, что для всехвыполняется неравенство
Если а — предел последовательности, то пишут или при
С помощью логических символов это определение можно записать в виде (1)
Последовательность, у которой существует предел, называют схо­дящейся.
Таким образом, последовательность является сходящейся, если: (2)
Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют рас­ходящейся.; иначе говоря, последовательность называют расходящей­ся, если никакое число не является ее пределом.
Заметим, что еслидля всех(такую последователь­ность называют стационарной), то
Из определения (1) следует, что последовательностьимеет предел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность имеет предел, равный нулю, т. е.

3. Единственность предела последовательности.
Теорема 1. Числовая последовательность может иметь только один предел.
Предположим, что последовательностьимеет два различных предела а и b, причем(рис. 4.2). Выберемтаким, чтобы

е-окрестности точек а и b не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например,Так как число а — предел после­довательности, то по заданному можно найти номер N, такой, что для всех Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервалможет содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что b — предел последовательности (любая окрестность точки b должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противо­речие показывает, что последовательность не может иметь два раз­личных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Комментарии